Lời giải
Đề bài:
Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh của $\triangle ABC$.Chứng minh rằng:$a^{2}\sin^{2}x+b^{2}\cos^{2}x>c^{2}\sin^{2}x\cos^{2}x,\forall x \in R$.
Lời giải
Đặt $ t=\sin^{2}{x}$.
Ta có:
$a^{2}\sin^{2}x+b^{2}\cos^{2}x-c^{2}\sin^{2}x\cos^{2}x$
$=ta^{2}+(1-t)b^{2}-t(1-t)c^{2} $
$=c^{2}t^{2}+(a^{2}-b^{2}-c^{2})t+b^{2}$
Xét hàm tam thức bậc 2: $f(t)=
c^{2}t^{2}+(a^{2}-b^{2}-c^{2})t+b^{2}$ có
$\Delta=(a^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}-4b^{2}c^{2}$
$=(a^{2}-b^{2}-c^{2}-2bc)(a^{2}-b^{2}-c^{2}+2bc)$
$=(a^{2}-(b+c)^{2})(a^{2}-(b-c)^{2})$
$=-(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$
Vì: $\begin{cases}a+b>c \\ b+c>a \\ c+a>b \end{cases}$
Do đó: $\Deltahay $f(t)>0$, với $ \forall t\in R $
$\Rightarrow
a^{2}\sin^{2}x+b^{2}\cos^{2}x-c^{2}\sin^{2}x\cos^{2}x >0$, với $
\forall x\in R $.
từ đó ta thu được (ĐPCM).
=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức lượng giác
Trả lời