Đề bài: Cho số thực $a$ thoả mãn $|a|\geq 1$, chứng minh rằng:       $-4\leq \frac{5-12\sqrt{a^2-1}}{a^2}\leq 9$.

Lời giải

Đề bài:
Cho số thực $a$ thoả mãn $|a|\geq 1$, chứng minh rằng:       $-4\leq \frac{5-12\sqrt{a^2-1}}{a^2}\leq 9$.
Lời giải

Với giả thiết $|a|\geq 1$ đặt $|a|=\frac{1}{\cos\alpha}$, với $\alpha\in[0;\frac{\pi}{2})$.
Khi đó, bất đẳng thức được biến đổi về dạng:
     $-4a^2\leq 5-12\sqrt{a^2-1}\leq 9a^2\Leftrightarrow \frac{-4}{\cos^2\alpha}\leq 5-12\sqrt{\frac{1}{\cos^2\alpha}-1}\leq \frac{9}{\cos^2\alpha}$
     
$\Leftrightarrow -4(\tan^2\alpha+1)\leq 5-12\sqrt{
\tan^2\alpha }\leq 9(\tan^2\alpha+1)$ 
     $\Leftrightarrow -4(\tan^2\alpha+1)\leq 5-12\tan\alpha\leq 9(\tan^2\alpha+1)$(do $\tan \alpha\geq 0$)
     $\Leftrightarrow \begin{cases}4\tan^2\alpha-12\tan\alpha+9\geq 0 \\ 9\tan^2\alpha+12\tan\alpha+4\geq 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}(2\tan\alpha-3)^2\geq 0 \\ (3\tan\alpha+2)^2\geq 0 \end{cases}$, luôn đúng, do đó BĐT cần chứng minh là đúng.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức lượng giác