Đề bài: Chứng minh rằng: $\sqrt{a^2-1}+\sqrt{3}\leq 2|a|$
Lời giải
Đề bài:
Chứng minh rằng: $\sqrt{a^2-1}+\sqrt{3}\leq 2|a|$
Lời giải
Điều kiện: $a^2-1\geq 0\Leftrightarrow |a|\geq 1$.
Đặt $\displaystyle |a|=\frac{1}{\cos\alpha}$, với $\displaystyle\alpha\in [0;\frac{\pi}{2})$.
Khi đó, bất đẳng thức được biến đổi về dạng:
$\displaystyle\sqrt{\frac{1}{\cos^2\alpha}-1}+\sqrt{3}\leq \frac{2}{\cos\alpha}\Leftrightarrow \tan \alpha+\sqrt{3}\leq \frac{2}{\cos\alpha}$
Đặt $\displaystyle |a|=\frac{1}{\cos\alpha}$, với $\displaystyle\alpha\in [0;\frac{\pi}{2})$.
Khi đó, bất đẳng thức được biến đổi về dạng:
$\displaystyle\sqrt{\frac{1}{\cos^2\alpha}-1}+\sqrt{3}\leq \frac{2}{\cos\alpha}\Leftrightarrow \tan \alpha+\sqrt{3}\leq \frac{2}{\cos\alpha}$
$\displaystyle\Leftrightarrow\sin\alpha+\sqrt{3}\cos\alpha\leq 2\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin\alpha+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha\leq 1\Leftrightarrow \sin(\alpha+\frac{\pi}{3})\leq 1$, đúng.
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
$\displaystyle\sin(\alpha+\frac{\pi}{3})=1\Leftrightarrow \alpha+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k2\pi, k\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow \alpha=\frac{\pi}{6}+k2\pi, k\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow \alpha=\frac{\pi}{6}$
$\displaystyle\sin(\alpha+\frac{\pi}{3})=1\Leftrightarrow \alpha+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k2\pi, k\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow \alpha=\frac{\pi}{6}+k2\pi, k\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow \alpha=\frac{\pi}{6}$
$\displaystyle|a|=\frac{2}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow a=\pm \frac{2}{\sqrt{3}}$.
=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức lượng giác
Để lại phản hồi