📌 Đề bài:
Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố trong ngày thứ $t$ của một năm ($1 \le t \le 360$) được mô hình hóa bởi hàm số: $$L(t) = 12 + 2\sin\left[\frac{\pi}{180}(t – 30)\right]$$ với $t \in \mathbb{N}^*$ và $L(t)$ tính bằng giờ.
a) Ngày có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất trong năm là ngày thứ bao nhiêu và đạt tối đa bao nhiêu giờ?
b) Trong một năm, thành phố có đúng $13$ giờ có ánh sáng mặt trời vào những ngày thứ mấy?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
- Tập giá trị của hàm sin: Với mọi $\alpha$, ta luôn có $-1 \le \sin\alpha \le 1$. Do đó giá trị lớn nhất của $A + B\sin\alpha$ (với $B > 0$) đạt được khi $\sin\alpha = 1$, tức là $\alpha = \frac{\pi}{2} + k2\pi$.
- Giải phương trình lượng giác cơ bản: $$\sin u = \sin v \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} u = v + k2\pi \\ u = \pi – v + k2\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})$$
- Điều kiện thực tế: Chọn các nghiệm $t$ nguyên thỏa mãn điều kiện $1 \le t \le 360$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để đóng/mở)
a) Tìm ngày có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất:
Vì $-1 \le \sin\left[\frac{\pi}{180}(t – 30)\right] \le 1$ với mọi $t$, nên:
$$L(t) = 12 + 2\sin\left[\frac{\pi}{180}(t – 30)\right] \le 12 + 2(1) = 14$$Do đó, số giờ có ánh sáng mặt trời nhiều nhất là $14$ giờ.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
$$\sin\left[\frac{\pi}{180}(t – 30)\right] = 1 \Leftrightarrow \frac{\pi}{180}(t – 30) = \frac{\pi}{2} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$ $$\Leftrightarrow t – 30 = 90 + 360k \Leftrightarrow t = 120 + 360k$$Vì $1 \le t \le 360$ và $k \in \mathbb{Z}$, ta chọn $k = 0 \Rightarrow t = 120$.
Vậy ngày thứ 120 trong năm có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất, đạt 14 giờ.
b) Tìm các ngày có đúng 13 giờ ánh sáng mặt trời:
Thành phố có đúng 13 giờ có ánh sáng mặt trời khi $L(t) = 13$:
$$12 + 2\sin\left[\frac{\pi}{180}(t – 30)\right] = 13$$ $$\Leftrightarrow \sin\left[\frac{\pi}{180}(t – 30)\right] = \frac{1}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$$ $$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \frac{\pi}{180}(t – 30) = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ \frac{\pi}{180}(t – 30) = \pi – \frac{\pi}{6} + k2\pi = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})$$Giải từng trường hợp:
- Trường hợp 1: $$t – 30 = 30 + 360k \Leftrightarrow t = 60 + 360k$$ Do $1 \le t \le 360$, ta có $k = 0 \Rightarrow t = 60$.
- Trường hợp 2: $$t – 30 = 150 + 360k \Leftrightarrow t = 180 + 360k$$ Do $1 \le t \le 360$, ta có $k = 0 \Rightarrow t = 180$.
👉 Kết luận:
a) Ngày có nhiều giờ ánh sáng nhất là ngày thứ 120 (đạt 14 giờ).
b) Trong năm có 2 ngày có đúng 13 giờ ánh sáng mặt trời là ngày thứ 60 và ngày thứ 180.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Nhiệt độ trung bình $T$ ($^\circ\text{C}$) trong ngày của một vùng theo thời gian $t$ (giờ, $0 \le t \le 24$) được cho bởi $T(t) = 25 + 4\cos\left(\frac{\pi t}{12} – \frac{2\pi}{3}\right)$. Hỏi nhiệt độ cao nhất trong ngày là bao nhiêu và đạt được vào lúc mấy giờ?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Đẳng thức xảy ra khi $\cos\left(\frac{\pi t}{12} – \frac{2\pi}{3}\right) = 1 \Leftrightarrow \frac{\pi t}{12} – \frac{2\pi}{3} = k2\pi \Leftrightarrow t = 8 + 24k$.
Vì $0 \le t \le 24 \Rightarrow t = 8$ (8 giờ sáng).
Đáp số: Nhiệt độ cao nhất là $29^\circ\text{C}$ vào lúc 8 giờ sáng.
Bài tập 2: Li độ của một con lắc lò xo dao động điều hòa theo thời gian $t$ (giây) được cho bởi $x(t) = 4\cos\left(2\pi t – \frac{\pi}{3}\right)\text{ (cm)}$. Tìm các thời điểm trong 2 giây đầu tiên ($0 \le t \le 2$) mà con lắc đi qua vị trí cân bằng ($x = 0$).
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Với $0 \le t \le 2$, ta có $k \in \{0, 1, 2, 3\}$, suy ra $t \in \left\{\frac{5}{12}; \frac{11}{12}; \frac{17}{12}; \frac{23}{12}\right\}\text{ giây}$.
Bài tập 3: Vận tốc máu chảy qua tim sau thời gian $t$ (giây) là $v(t) = 1{,}5 + 1{,}5\sin(2\pi t)\text{ (lít/phút)}$. Tìm chu kì của nhịp tim và thời điểm vận tốc máu đạt cực đại trong 1 chu kì đầu tiên ($0 \le t \le 1$).
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Vận tốc cực đại $v_{\max} = 1{,}5 + 1{,}5 = 3\text{ lít/phút}$, đạt được khi $\sin(2\pi t) = 1 \Leftrightarrow 2\pi t = \frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = \frac{1}{4} + k$.
Trong $0 \le t \le 1 \Rightarrow t = 0{,}25\text{ giây}$.
Để lại phản hồi