Mực nước tại cảng biển theo thời gian $t$ ($0 \le t \le 24$) cho bởi $h(t) = 3\cos\left(\frac{\pi t}{6} + \frac{\pi}{3}\right) + 12\text{ (m)}$. Tàu chỉ cập cảng an toàn khi mực nước đạt từ $13{,}5\text{ m}$ trở lên. Tìm các khoảng thời gian trong ngày tàu có thể cập cảng.

Bước 1: Thiết lập bất phương trình

Tàu chở hàng có thể cập cảng an toàn khi mực nước $h(t) \ge 13{,}5$, tức là: $$3\cos\left(\frac{\pi t}{6} + \frac{\pi}{3}\right) + 12 \ge 13{,}5$$ $$\Leftrightarrow 3\cos\left(\frac{\pi t}{6} + \frac{\pi}{3}\right) \ge 1{,}5$$ $$\Leftrightarrow \cos\left(\frac{\pi t}{6} + \frac{\pi}{3}\right) \ge \frac{1}{2}$$

Bước 2: Giải bất phương trình lượng giác

Áp dụng công thức nghiệm của bất phương trình $\cos X \ge \frac{1}{2}$: $$-\frac{\pi}{3} + k2\pi \le \frac{\pi t}{6} + \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{3} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$ Trừ $\frac{\pi}{3}$ ở cả ba vế: $$-\frac{2\pi}{3} + k2\pi \le \frac{\pi t}{6} \le k2\pi$$ Nhân cả ba vế với $\frac{6}{\pi}$: $$-4 + 12k \le t \le 12k \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Bước 3: Tìm các khoảng giá trị $t \in [0; 24]$

• Với $k = 0$: $-4 \le t \le 0$. Kết hợp điều kiện $0 \le t \le 24$, ta có thời điểm $t = 0$ (lúc 0 giờ).
• Với $k = 1$: $8 \le t \le 12$. Ta được khoảng thời gian từ $8$ giờ đến $12$ giờ.
• Với $k = 2$: $20 \le t \le 24$. Ta được khoảng thời gian từ $20$ giờ đến $24$ giờ.
• Với các giá trị $k$ khác ($k \le -1$ hoặc $k \ge 3$), không có giá trị $t \in [0; 24]$ thỏa mãn.

Vậy trong 24 giờ của ngày đó, tàu chở hàng có thể cập cảng an toàn trong các khoảng thời gian: từ 8 giờ đến 12 giờ và từ 20 giờ đến 24 giờ.

👉 Kết luận / Đáp án: Chọn A (Từ 8 giờ đến 12 giờ và từ 20 giờ đến 24 giờ).