📌 Đề bài:
Một vòng đu quay có bán kính $20\text{ m}$, trục quay cách mặt đất $25\text{ m}$, quay đều với chu kì $60\text{ giây}$. Giả sử tại thời điểm $t = 0\text{ (giây)}$, một cabin đang ở vị trí thấp nhất. Độ cao $h$ (tính bằng mét) của cabin đó so với mặt đất tại thời điểm $t$ được mô hình hóa bởi hàm số: $$h(t) = 25 – 20\cos\left(\frac{\pi}{30}t\right)$$ Trong $60\text{ giây}$ đầu tiên của vòng quay ($0 \le t \le 60$), cabin đó đạt độ cao $35\text{ m}$ so với mặt đất tại các thời điểm nào?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
- Mô hình hóa bài toán: Cabin đạt độ cao $h = 35\text{ m}$ khi hàm số thỏa mãn phương trình lượng giác $h(t) = 35$.
- Phương trình lượng giác cơ bản: $$\cos X = \cos \alpha \iff X = \pm \alpha + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$
- Tìm nghiệm trong miền thực tế: Giới hạn nghiệm theo điều kiện thời gian $t \in [0; 60]$ để tìm các giá trị nguyên $k$ thích hợp.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Thiết lập phương trình theo bài toán
Theo đề bài, ta cần tìm $t \in [0; 60]$ sao cho độ cao $h(t) = 35\text{ m}$:
$$25 – 20\cos\left(\frac{\pi}{30}t\right) = 35$$Bước 2: Giải phương trình lượng giác
$$-20\cos\left(\frac{\pi}{30}t\right) = 35 – 25 = 10$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{30}t\right) = -\frac{10}{20} = -\frac{1}{2}$$Vì $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$, nên phương trình tương đương:
$$\cos\left(\frac{\pi}{30}t\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) \iff \frac{\pi}{30}t = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$ $$\iff t = \pm 20 + 60k \quad (k \in \mathbb{Z})$$Bước 3: Chọn nghiệm thỏa mãn $0 \le t \le 60$
- Trường hợp 1: $t = 20 + 60k$. $$0 \le 20 + 60k \le 60 \iff -\frac{20}{60} \le k \le \frac{40}{60} \implies k = 0 \implies t = 20\text{ (giây)}.$$
- Trường hợp 2: $t = -20 + 60k$. $$0 \le -20 + 60k \le 60 \iff \frac{20}{60} \le k \le \frac{80}{60} \implies k = 1 \implies t = -20 + 60(1) = 40\text{ (giây)}.$$
Vậy trong $60\text{ giây}$ đầu tiên, cabin ở độ cao $35\text{ m}$ tại hai thời điểm là $t = 20\text{ giây}$ và $t = 40\text{ giây}$.
👉 Kết luận: Chọn đáp án B.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Mực nước thủy triều tại một cảng biển (tính bằng mét) sau $t$ giờ kể từ nửa đêm được cho bởi hàm số $h(t) = 5 + 3\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)$. Trong khoảng thời gian từ $0$ đến $12$ giờ, vào những thời điểm nào mực nước đạt độ cao $6{,}5\text{ m}$?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
$\Rightarrow \frac{\pi t}{6} = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi \iff t = \pm 2 + 12k$.
Với $t \in [0; 12]$, ta có $t = 2\text{ giờ}$ (lúc 2 giờ sáng) và $t = 10\text{ giờ}$ (lúc 10 giờ sáng).
Đáp số: $t = 2\text{ h}$ và $t = 10\text{ h}$.
Bài tập 2: Khoảng cách từ mặt đất đến một quả bóng gắn vào đầu lò xo dao động thẳng đứng được cho bởi $y(t) = 30 + 10\sin(2\pi t)$ (cm), với $t$ tính bằng giây. Tìm thời điểm đầu tiên ($t > 0$) quả bóng ở vị trí cao $35\text{ cm}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
$\Rightarrow 2\pi t = \frac{\pi}{6} + k2\pi \implies t = \frac{1}{12} + k$ hoặc $2\pi t = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \implies t = \frac{5}{12} + k$.
Thời điểm dương nhỏ nhất tương ứng với $k=0$ là $t = \frac{1}{12}\text{ giây} \approx 0{,}083\text{ giây}$.
Đáp số: $t = \frac{1}{12}\text{ s}$.
Bài tập 3: Vận tốc $v$ (cm/s) của một con lắc dao động điều hòa theo thời gian $t$ (giây) được xác định bởi công thức $v(t) = 8\pi \cos\left(2\pi t – \frac{\pi}{3}\right)$. Trong $2\text{ giây}$ đầu tiên ($0 \le t \le 2$), có bao nhiêu lần con lắc đổi chiều chuyển động (tức $v(t) = 0$)?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Với $0 \le t \le 2 \iff 0 \le \frac{5}{12} + \frac{k}{2} \le 2 \iff -\frac{5}{6} \le k \le \frac{19}{6} \implies k \in \{0, 1, 2, 3\}$.
Có 4 giá trị $k$ tương ứng với 4 lần con lắc đổi chiều.
Đáp số: 4 lần.
Bài tập 4: Số giờ có ánh sáng mặt trời trong ngày thứ $t$ của một năm tại một thành phố được mô phỏng bởi hàm số $L(t) = 12 + 2{,}83\sin\left[\frac{2\pi}{365}(t – 80)\right]$ ($1 \le t \le 365$). Ngày nào trong năm có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất?
Để lại phản hồi