📌 Đề bài:
Một vòng quay quan sát khổng lồ (vòng quay mặt trời) có bán kính $R = 30\text{ m}$, tâm (trục quay) cách mặt đất $35\text{ m}$. Vòng quay quay đều theo chiều ngược chiều kim đồng hồ với chu kì quay hết 1 vòng là 12 phút. Giả sử tại thời điểm $t = 0$ (phút), cabin chở khách bắt đầu quay từ vị trí thấp nhất (cách mặt đất $5\text{ m}$). Độ cao $h(t)$ (tính bằng mét) của cabin so với mặt đất tại thời điểm $t$ ($t \ge 0$) được mô hình hóa bởi hàm số:
$$h(t) = 35 – 30\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)$$
Trong một vòng quay đầu tiên ($0 \le t \le 12$ phút), hỏi tại những thời điểm $t$ nào cabin đạt độ cao đúng bằng $50\text{ m}$ so với mặt đất?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
- Mô hình hóa lượng giác: Dao động tuần hoàn dạng hình sin/côsin có dạng tổng quát $y = d + A\cos(\omega t + \varphi)$ hoặc $y = d + A\sin(\omega t + \varphi)$, trong đó $d$ là vị trí cân bằng (độ cao trục), $|A|$ là biên độ dao động (bán kính vòng quay), và chu kì $T = \frac{2\pi}{\omega}$.
- Phương trình lượng giác cơ bản: $$\cos X = \cos \alpha \iff \left[\begin{array}{l} X = \alpha + k2\pi \\ X = -\alpha + k2\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})$$
- Tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện thực tế: Cho $h(t) = h_0$, giải phương trình lượng giác tìm họ nghiệm $t$, sau đó kết hợp điều kiện $0 \le t \le T$ để tìm giá trị nguyên $k$ và suy ra các thời điểm $t$ cụ thể.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Thiết lập phương trình theo yêu cầu bài toán
Cabin ở độ cao $50\text{ m}$ khi và chỉ khi:
$$h(t) = 50 \iff 35 – 30\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) = 50$$
Bước 2: Giải phương trình lượng giác
Chuyển vế và rút gọn:
$$-30\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) = 50 – 35 = 15$$
$$\iff \cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) = -\frac{15}{30} = -\frac{1}{2}$$
Vì $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$, ta có:
$$\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) \iff \left[\begin{array}{l} \dfrac{\pi}{6}t = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \\[8pt] \dfrac{\pi}{6}t = -\dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})$$
Nhân cả hai vế với $\frac{6}{\pi}$:
$$\left[\begin{array}{l} t = 4 + 12k \\[4pt] t = -4 + 12k \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})$$
Bước 3: Chọn nghiệm thỏa mãn $0 \le t \le 12$
- Với họ nghiệm $t = 4 + 12k$:
Ta có $0 \le 4 + 12k \le 12 \iff -\frac{4}{12} \le k \le \frac{8}{12} \iff -0{,}33 \le k \le 0{,}67$.
Do $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow t = 4\text{ (phút)}$. - Với họ nghiệm $t = -4 + 12k$:
Ta có $0 \le -4 + 12k \le 12 \iff \frac{4}{12} \le k \le \frac{16}{12} \iff 0{,}33 \le k \le 1{,}33$.
Do $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 1 \Rightarrow t = -4 + 12(1) = 8\text{ (phút)}$.
Như vậy, trong 1 vòng quay đầu tiên, cabin đạt độ cao $50\text{ m}$ tại hai thời điểm là $t = 4\text{ phút}$ (lúc đi lên) và $t = 8\text{ phút}$ (lúc đi xuống).
👉 Kết luận: Chọn đáp án B ($t = 4\text{ phút}$ và $t = 8\text{ phút}$).
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Độ sâu của nước tại một cảng biển theo thời gian $t$ (giờ, $0 \le t \le 24$) được cho bởi công thức $h(t) = 10 + 4\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)$ (mét). Một tàu hàng lớn chỉ có thể cập cảng an toàn khi độ sâu của nước tối thiểu đạt $12\text{ m}$. Hỏi trong ngày, tàu có thể cập cảng lần đầu tiên vào lúc mấy giờ?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ta cần $h(t) \ge 12 \iff 10 + 4\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) \ge 12 \iff \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) \ge \frac{1}{2}$.
Vì $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ nên trên 1 chu kì $[0; 12]$, ta có $-\frac{\pi}{3} \le \frac{\pi t}{6} \le \frac{\pi}{3} \iff -2 \le t \le 2$.
Xét $0 \le t \le 24$: Khoảng thời gian độ sâu $\ge 12\text{ m}$ là $[0; 2]$, $[10; 14]$, $[22; 24]$.
Do đó, thời điểm sớm nhất trong ngày là $t = 0\text{ giờ}$ (nửa đêm) đến $t = 2\text{ giờ}$ sáng.
Đáp số: $t = 0\text{ giờ}$ đến $t = 2\text{ giờ}$ sáng (hoặc lần thứ hai từ $10\text{h}$ đến $14\text{h}$).
Bài tập 2: Nhiệt độ ngoài trời $T$ ($^\circ\text{C}$) tại một thành phố sau $t$ giờ tính từ lúc nửa đêm ($t = 0$) được mô hình hóa bởi hàm số $T(t) = 24 + 6\sin\left(\frac{\pi (t – 9)}{12}\right)$ với $0 \le t \le 24$. Hỏi nhiệt độ cao nhất trong ngày là bao nhiêu và đạt được vào lúc mấy giờ?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Vì $-1 \le \sin\left(\frac{\pi (t – 9)}{12}\right) \le 1$ nên giá trị lớn nhất của $T(t)$ là $T_{\max} = 24 + 6(1) = 30^\circ\text{C}$.
Dấu “=” xảy ra khi $\sin\left(\frac{\pi (t – 9)}{12}\right) = 1 \iff \frac{\pi (t – 9)}{12} = \frac{\pi}{2} + k2\pi \iff t – 9 = 6 + 24k \iff t = 15 + 24k$.
Với $0 \le t \le 24$, chọn $k = 0 \Rightarrow t = 15\text{ (15 giờ hay 3 giờ chiều)}$.
Đáp số: Nhiệt độ cao nhất là $30^\circ\text{C}$ vào lúc $15\text{ giờ}$ (3 giờ chiều).
Bài tập 3: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương trình li độ $x(t) = 6\cos\left(4\pi t – \frac{\pi}{3}\right)\text{ (cm)}$, trong đó $t$ tính bằng giây ($t \ge 0$). Tìm thời điểm đầu tiên vật đi qua vị trí cân bằng ($x = 0$) theo chiều âm.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm nghĩa là $x = 0$ và vận tốc $v(t) = x'(t) < 0$, tương ứng pha dao động bằng $\frac{\pi}{2} + k2\pi$.
Ta có: $4\pi t – \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k2\pi \iff 4\pi t = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \iff t = \frac{5}{24} + \frac{k}{2}\text{ (s)}$.
Thời điểm đầu tiên ($t > 0$ nhỏ nhất) tương ứng $k = 0 \Rightarrow t = \frac{5}{24}\text{ giây} \approx 0{,}208\text{ s}$.
Đáp số: $t = \frac{5}{24}\text{ s}$.
Bài tập 4: Số giờ có ánh sáng mặt trời trong ngày thứ $t$ của năm (với $1 \le t \le 365$, $t = 1$ là ngày 1 tháng 1) tại một thành phố được cho bởi hàm số $L(t) = 12 + 2{,}8\sin\left(\frac{2\pi}{365}(t – 80)\right)$ (giờ). Hỏi ngày nào trong năm có số giờ có ánh sáng mặt trời nhiều nhất?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Hàm số $L(t)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $12 + 2{,}8 = 14{,}8\text{ giờ}$ khi $\sin\left(\frac{2\pi}{365}(t – 80)\right) = 1$.
$$\iff \frac{2\pi}{365}(t – 80) = \frac{\pi}{2} + k2\pi \iff t – 80 = \frac{365}{4} + 365k = 91{,}25 + 365k$$
Với $1 \le t \le 365$, chọn $k = 0 \Rightarrow t = 80 + 91{,}25 = 171{,}25 \approx 171$ (ngày thứ 171 của năm, tương ứng ngày 20 hoặc 21 tháng 6 – ngày Hạ chí).
Đáp số: Ngày thứ $171$ của năm ($14{,}8\text{ giờ}$).
Bài tập 5: Huyết áp tâm thu $P(t)$ (đơn vị $\text{mmHg}$) của một người trong trạng thái nghỉ ngơi sau $t$ giây được biểu diễn bởi $P(t) = 100 + 20\sin(2\pi t)$. Tìm tần số nhịp tim (số lần đập trong 1 phút) và huyết áp cao nhất của người này.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
• Chu kì tim: $\omega = 2\pi \Rightarrow T = \frac{2\pi}{\omega} = 1\text{ giây}$ (mỗi nhịp đập mất 1 giây).
• Số nhịp đập trong 1 phút ($60\text{ giây}$) là: $N = \frac{60}{1} = 60\text{ nhịp/phút}$.
• Huyết áp cao nhất (huyết áp cực đại) là: $P_{\max} = 100 + 20(1) =
Để lại phản hồi