Cho \(x,y,z\) là các số thực thay đổi, đôi một khác nhau thuộc đoạn \(\left[ {0;2} \right]\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{{{\left( {x – y} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {y – z} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {z – x} \right)}^2}}}\).

Cho \(x,y,z\) là các số thực thay đổi, đôi một khác nhau thuộc đoạn \(\left[ {0;2} \right]\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{{{\left( {x – y} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {y – z} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {z – x} \right)}^2}}}\).

Lời giải

Không mất tính tổng quát, giả sử \(0 \le x < y < z \le 2\).

Áp dụng BĐT Cauchy AM-GM ta có

\(P = \frac{1}{{{{\left( {x – y} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {y – z} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {z – x} \right)}^2}}}\) \( = \frac{1}{{{{\left( {y – x} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {z – y} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {z – x} \right)}^2}}}\)\( \ge \frac{2}{{\left( {y – x} \right)\left( {z – y} \right)}} + \frac{1}{{{{\left( {z – x} \right)}^2}}} = \frac{8}{{{{\left[ {2\sqrt {\left( {y – x} \right)\left( {z – y} \right)} } \right]}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {z – x} \right)}^2}}}\)\( \ge \frac{8}{{{{\left[ {\left( {y – x} \right) + \left( {z – y} \right)} \right]}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {z – x} \right)}^2}}}\)\( = \frac{9}{{{{\left( {z – x} \right)}^2}}} \ge \frac{9}{4}\) (do \(0 < z – x \le 2\))

Dấu “ \( = \) ” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}y – x = z – y\\z = 2,x = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\z = 2,x = 0\end{array} \right.\).

Vậy \({P_{\min }} = \frac{9}{4}\) khi \(\left( {x,y,z} \right) = \left( {0,1,2} \right)\) và các hoán vị của chúng.