• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Toán 12
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Toán
  • Tiện ích Toán
Bạn đang ở:Trang chủ / Bất đẳng thức - Bài tập tự luận / Đề bài: Chứng minh rằng:         $|a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}+\sqrt{3}[ab-\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}]|\leq 2$.

Đề bài: Chứng minh rằng:         $|a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}+\sqrt{3}[ab-\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}]|\leq 2$.

Ngày 11/07/2021 Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức lượng giác

Đề bài: Chứng minh rằng:         $|a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}+\sqrt{3}[ab-\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}]|\leq 2$.

Bat dang thuc

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng:         $|a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}+\sqrt{3}[ab-\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}]|\leq 2$.
Lời giải

Điều kiện : $\begin{cases}1-a^2\geq 0 \\ 1-b^2\geq 0
\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}|a|\leq 1 \\ |b|\leq 1
\end{cases}$.
Đặt: $\displaystyle \begin{cases}a=\sin\alpha \\ b=\sin\beta \end{cases}, \alpha,\beta\in[\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$.
Khi đó, bất đẳng thức được biến đổi về dạng:
     $|\sin\alpha.\sqrt{1-\sin^2\beta}-\sin\beta\sqrt{1-\sin^2\alpha}+\sqrt{3}[\sin\alpha.\sin\beta-\sqrt{(1-\sin^2\alpha)(1-\sin^2\beta)}]|$
$\leq 2$
      $\Leftrightarrow |\sin\alpha.\cos\beta+\sin\beta.\cos\alpha+\sqrt{3}(\sin\alpha.\sin\beta-\cos\alpha.\cos\beta)|$$\leq 2$
      $\Leftrightarrow |\sin(\alpha+\beta)-\sqrt{3}\cos(\alpha+\beta)|\leq 2$
      $\displaystyle\Leftrightarrow |\frac{1}{2}\sin(\alpha+\beta)-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(\alpha+\beta)|\leq 1\Leftrightarrow |\sin(\alpha+\beta-\frac{\pi}{3})|\leq 1$, luôn đúng.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức lượng giác

Bài liên quan:

  1. Đề bài: Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh của $\triangle ABC$.Chứng minh rằng:$a^{2}\sin^{2}x+b^{2}\cos^{2}x>c^{2}\sin^{2}x\cos^{2}x,\forall x \in R$.
  2. Đề bài: Chứng minh rằng :$x^{2}\left ( 1+\sin^{2} y \right )+2x\left ( \sin y+\cos y \right )+1+\cos^{2} y>0,\forall x,y\in R$
  3. Đề bài: Chứng minh rằng:$\left ( \sin x +a\cos x\right )\left ( \sin x +b\cos x\right )\leq \frac{1}{2}[1+ab+\sqrt{\left ( 1+a^{2} \right )\left ( 1+b^{2} \right )}]$
  4. Đề bài: Có tồn tại $x \in R$ sao cho: $\frac{1}{3}\leq \frac{\tan3x}{\tan x}\leq 3$
  5. Đề bài: Chứng minh rằng:               $\sqrt{a^2-1}+\sqrt{3}\leq 2|a|$
  6. Đề bài: Cho số thực $a$ thoả mãn $|a|\geq 1$, chứng minh rằng:       $-4\leq \frac{5-12\sqrt{a^2-1}}{a^2}\leq 9$.
  7. Đề bài: Cho $x,y$ thoả mãn $3x+4y=7$, chứng minh rằng:            $x^2+y^2\geq \frac{49}{25}$.
  8. Đề bài: Cho các số $a,b,c$ thoả mãn $0
  9. Đề bài: Cho $0
  10. Đề bài: Cho $0
  11. Đề bài: Chứng minh bất dẳng thức:a) $\sin ^{4}x+\cos ^{8}x\leq  1                                               b) \sin^{10}x+\cos^{11}x \leq \ 1$ c)$(1+x)^{n}+(1-x)^{n} \leq  2^{n}; (|x|\leq  1), n \geq   1$
  12. Đề bài: Chứng minh rằng:   $4\sin^2\frac{a+b}{2}.\cos^2\frac{a-b}{2}+\cos2a+\cos2b\leq 2        (1)$
  13. Đề bài: Chưng minh rằng:    $ |\sin \alpha|.\sin x+ |\cos \alpha|.\cos x\leq 1$
  14. Đề bài: Chứng minh rằng:   $\sin x>\frac{2\pi}{2}>\tan \frac{x}{2},  \forall x \in (0;\frac{\pi}{2})$
  15. Đề bài: Chứng minh rằng $2\sin x+\tan x > 3x$ với mọi $x\in(0;\frac{\pi}{2})$.

Reader Interactions

Để lại một bình luận Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC

Booktoan.com (2015 - 2025) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.