Đề bài: Chứng minh rằng:         $|a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}+\sqrt{3}[ab-\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}]|\leq 2$.

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng:         $|a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}+\sqrt{3}[ab-\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}]|\leq 2$.
Lời giải

Điều kiện : $\begin{cases}1-a^2\geq 0 \\ 1-b^2\geq 0
\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}|a|\leq 1 \\ |b|\leq 1
\end{cases}$.
Đặt: $\displaystyle \begin{cases}a=\sin\alpha \\ b=\sin\beta \end{cases}, \alpha,\beta\in[\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$.
Khi đó, bất đẳng thức được biến đổi về dạng:
     $|\sin\alpha.\sqrt{1-\sin^2\beta}-\sin\beta\sqrt{1-\sin^2\alpha}+\sqrt{3}[\sin\alpha.\sin\beta-\sqrt{(1-\sin^2\alpha)(1-\sin^2\beta)}]|$
$\leq 2$
      $\Leftrightarrow |\sin\alpha.\cos\beta+\sin\beta.\cos\alpha+\sqrt{3}(\sin\alpha.\sin\beta-\cos\alpha.\cos\beta)|$$\leq 2$
      $\Leftrightarrow |\sin(\alpha+\beta)-\sqrt{3}\cos(\alpha+\beta)|\leq 2$
      $\displaystyle\Leftrightarrow |\frac{1}{2}\sin(\alpha+\beta)-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(\alpha+\beta)|\leq 1\Leftrightarrow |\sin(\alpha+\beta-\frac{\pi}{3})|\leq 1$, luôn đúng.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức lượng giác