Đề bài: Chứng minh rằng :$x^{2}\left ( 1+\sin^{2} y \right )+2x\left ( \sin y+\cos y \right )+1+\cos^{2} y>0,\forall x,y\in R$

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng :$x^{2}\left ( 1+\sin^{2} y \right )+2x\left ( \sin y+\cos y \right )+1+\cos^{2} y>0,\forall x,y\in R$
Lời giải

Xét $f\left ( x \right )=\left ( 1+\sin^{2} y \right )x^{2}+2\left ( \sin y+\cos y \right )x+1+\cos^{2} y$
$\Delta=\left ( \sin y+\cos y \right )^{2}-\left ( 1+\sin^{2} y \right )\left ( 1+\cos^{2} y \right )=1+\sin 2y-2-\frac{1}{4}\sin^{2} 2y $
$=-\left ( \frac{1}{2}\sin 2y-1 \right )^{2}=-\frac{1}{4}\left ( \sin 2y-2 \right )^{2}Mà $
1+\sin^{2} y >0$
Vậy: $f\left ( x \right )>0,\forall x,y\in R$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức lượng giác