• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Toán 12
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Toán
  • Tiện ích Toán
Bạn đang ở:Trang chủ / Bất đẳng thức - Bài tập tự luận / Đề bài: Cho $x,y$ thoả mãn $3x+4y=7$, chứng minh rằng:            $x^2+y^2\geq \frac{49}{25}$.

Đề bài: Cho $x,y$ thoả mãn $3x+4y=7$, chứng minh rằng:            $x^2+y^2\geq \frac{49}{25}$.

Ngày 11/07/2021 Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức lượng giác

Đề bài: Cho $x,y$ thoả mãn $3x+4y=7$, chứng minh rằng:            $x^2+y^2\geq \frac{49}{25}$.

Bat dang thuc

Lời giải

Đề bài:
Cho $x,y$ thoả mãn $3x+4y=7$, chứng minh rằng:            $x^2+y^2\geq \frac{49}{25}$.
Lời giải

Từ giả thiết:
  $\displaystyle 7=3x+4y=5\sqrt{x^2+y^2}[\frac{3}{5}.\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{4}{5}.\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}].   (1)$
Nhận xét rằng:
-Vì $
\displaystyle (\frac{3}{5})^2+(\frac{4}{5})^2=1$, đặt $
\displaystyle \frac{3}{5}=\sin\alpha$ và $
\displaystyle \frac{4}{5}=\cos\alpha$ với $\displaystyle\alpha\in[0;\frac{\pi}{2}]$.
-Vì $
\displaystyle (\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}})^2+(\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}})^2=1$ đặt : $
\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\cos\beta, \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\sin\beta; \beta\in[0;2\pi)$
Khi đó $(1)$ được chuyển về dạng:
   $7=5\sqrt{x^2+y^2}.(\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha)=5\sqrt{x^2+y^2}.\sin(\alpha+\beta)\leq 5\sqrt{x^2+y^2}$
   $
\displaystyle \Leftrightarrow \sqrt{x^2+y^2}\geq \frac{7}{5}\Leftrightarrow x^2+y^2\geq \frac{49}{25}$ đpcm.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức lượng giác

Bài liên quan:

  1. Đề bài: Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh của $\triangle ABC$.Chứng minh rằng:$a^{2}\sin^{2}x+b^{2}\cos^{2}x>c^{2}\sin^{2}x\cos^{2}x,\forall x \in R$.
  2. Đề bài: Chứng minh rằng :$x^{2}\left ( 1+\sin^{2} y \right )+2x\left ( \sin y+\cos y \right )+1+\cos^{2} y>0,\forall x,y\in R$
  3. Đề bài: Chứng minh rằng:$\left ( \sin x +a\cos x\right )\left ( \sin x +b\cos x\right )\leq \frac{1}{2}[1+ab+\sqrt{\left ( 1+a^{2} \right )\left ( 1+b^{2} \right )}]$
  4. Đề bài: Có tồn tại $x \in R$ sao cho: $\frac{1}{3}\leq \frac{\tan3x}{\tan x}\leq 3$
  5. Đề bài: Chứng minh rằng:               $\sqrt{a^2-1}+\sqrt{3}\leq 2|a|$
  6. Đề bài: Cho số thực $a$ thoả mãn $|a|\geq 1$, chứng minh rằng:       $-4\leq \frac{5-12\sqrt{a^2-1}}{a^2}\leq 9$.
  7. Đề bài: Chứng minh rằng:         $|a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}+\sqrt{3}[ab-\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}]|\leq 2$.
  8. Đề bài: Cho các số $a,b,c$ thoả mãn $0
  9. Đề bài: Cho $0
  10. Đề bài: Cho $0
  11. Đề bài: Chứng minh bất dẳng thức:a) $\sin ^{4}x+\cos ^{8}x\leq  1                                               b) \sin^{10}x+\cos^{11}x \leq \ 1$ c)$(1+x)^{n}+(1-x)^{n} \leq  2^{n}; (|x|\leq  1), n \geq   1$
  12. Đề bài: Chứng minh rằng:   $4\sin^2\frac{a+b}{2}.\cos^2\frac{a-b}{2}+\cos2a+\cos2b\leq 2        (1)$
  13. Đề bài: Chưng minh rằng:    $ |\sin \alpha|.\sin x+ |\cos \alpha|.\cos x\leq 1$
  14. Đề bài: Chứng minh rằng:   $\sin x>\frac{2\pi}{2}>\tan \frac{x}{2},  \forall x \in (0;\frac{\pi}{2})$
  15. Đề bài: Chứng minh rằng $2\sin x+\tan x > 3x$ với mọi $x\in(0;\frac{\pi}{2})$.

Reader Interactions

Để lại một bình luận Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC

Booktoan.com (2015 - 2025) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.