Lời giải
Đề bài:
Cho $x,y$ thoả mãn $3x+4y=7$, chứng minh rằng: $x^2+y^2\geq \frac{49}{25}$.
Lời giải
Từ giả thiết:
$\displaystyle 7=3x+4y=5\sqrt{x^2+y^2}[\frac{3}{5}.\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{4}{5}.\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}]. (1)$
Nhận xét rằng:
-Vì $
\displaystyle (\frac{3}{5})^2+(\frac{4}{5})^2=1$, đặt $
\displaystyle \frac{3}{5}=\sin\alpha$ và $
\displaystyle \frac{4}{5}=\cos\alpha$ với $\displaystyle\alpha\in[0;\frac{\pi}{2}]$.
-Vì $
\displaystyle (\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}})^2+(\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}})^2=1$ đặt : $
\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\cos\beta, \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\sin\beta; \beta\in[0;2\pi)$
Khi đó $(1)$ được chuyển về dạng:
$7=5\sqrt{x^2+y^2}.(\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha)=5\sqrt{x^2+y^2}.\sin(\alpha+\beta)\leq 5\sqrt{x^2+y^2}$
$
\displaystyle \Leftrightarrow \sqrt{x^2+y^2}\geq \frac{7}{5}\Leftrightarrow x^2+y^2\geq \frac{49}{25}$ đpcm.
=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức lượng giác
Trả lời