Đề bài: Cho các số $a,b,c$ thoả mãn $0

Lời giải

Đề bài:
Cho các số $a,b,c$ thoả mãn $0
Lời giải

Từ giả thiết ta biến đổi bất đẳng thức về dạng:
    $\sqrt{\frac{a-c}{a}.\frac{c}{b}}+\sqrt{\frac{b-c}{b}.\frac{c}{a}}\leq 1 \Leftrightarrow \sqrt{(1-\frac{c}{a}).\frac{c}{b}}+\sqrt{(1-\frac{c}{b}).\frac{c}{a}}\leq1$.
Nhận xét rằng:
  $(1-\frac{c}{a})+\frac{c}{a}=1$, đặt $1-\frac{c}{a}=\sin^2\alpha; \frac{c}{a}= \cos^2\alpha$, với $\alpha\in[o;\frac{\pi}{2}]$.
   $1-\frac{c}{b})+\frac{c}{b}=1$, đặt $1-\frac{c}{b}=\sin^2\beta; \frac{c}{b}= \cos^2\beta$, với $\beta\in[o;\frac{\pi}{2}]$.
Khi đó bất đẳng thức được chuyển về dạng:
  $\sqrt{\sin^2\alpha.\cos^2\beta}+\sqrt{\cos^2\alpha.\sin^2\beta}\leq 1\Leftrightarrow \sin\alpha.\cos\beta+\cos\alpha.\sin\beta\leq 1$
   $\Leftrightarrow \sin(\alpha+\beta)\leq 1$, luôn đúng.
Vậy BĐT cần chứng minh là đúng.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức lượng giác