Tìm tâm, bán kính phương trình mặt cầu

Tìm tâm, bán kính phương trình mặt cầu
==========

Câu 13: Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 16\). Tâm của \(\left( S \right)\) có tọa độ là
A. \(\left( { – 1\,;\, – 2\,;\, – 3} \right)\).
B. \(\left( {1\,;\,2\,;\,3} \right)\).
C. \(\left( { – 1\,;\,2\,;\, – 3} \right)\).
D. \(\left( {1\,;\, – 2\,;\,3} \right)\).
Lời giải:
Mặt cầu \(\left( S \right):\,{\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} + {\left( {z – c} \right)^2} = {R^2}\) có tâm là \(I\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\).
Suy ra, mặt cầu \(\left( S \right):\,{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 16\) có tâm là \(I\left( {1\,;\, – 2\,;\,3} \right)\).
Câu 14: Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 9\). Tâm của \(\left( S \right)\) có tọa độ là
A. \(\left( { – 2;4; – 1} \right)\).
B. \(\left( {2; – 4;1} \right)\).
C. \(\left( {2;4;1} \right)\).
D. \(\left( { – 2; – 4; – 1} \right)\).
Lời giải:
Tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\) có tọa độ là \(\left( {2; – 4;1} \right)\).
Câu 16: Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2y – 2z – 7 = 0.\) Bán kính của mặt cầu đã cho bằng
A. \(\sqrt 7 \).
B. \(3\).
C. 9.
D. \(\sqrt {15} \).
Lời giải:
Mặt cầu đã cho có phương trình dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) có bán kính là
\(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} – d} = \sqrt {{1^2} + {1^2} + 7} = 3\)
Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ \({\rm{Ox}}yz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 8x + 2y + 1 = 0\). Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\).
A. \(I\left( {–4\,;\,1\,;\,0} \right)\,,\,R = 2.\)
B. \(I\left( {–4\,;\,1\,;\,0} \right)\,,\,R = 4.\)
C. \(I\left( {4;\,–1\,;\,0} \right)\,,\,R = 2.\)
D. \(I\left( {4;\,–1\,;\,0} \right)\,,\,R = 4.\)
Lời giải:
Ta có: \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 8x + 2y + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x – 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 16.\)
Vậy mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {4\,;\,–1\,;\,0} \right)\) và bán kính \(R = 4.\)
Câu 18: Cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 4y + 2z – 3 = 0\). Tính bán kính \(R\) của mặt cầu \(\left( S \right)\).
A. \(R = \sqrt 3 \).
B. \(R = 3\).
C. \(R = 9\).
D. \(R = 3\sqrt 3 \).
Lời giải:
\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 4y + 2z – 3 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\).
Vậy bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(R = 3\).
Câu 19: Trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\), phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {2;\,1;\, – 2} \right)\) bán kính \(R = 2\) là:
A. \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = {2^2}\).
B. \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 4x – 2y + 4z + 5 = 0\).
C. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x – 2y + 4z + 5 = 0\).
D. \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 2\).
Lời giải:
Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {2;\,1;\, – 2} \right)\) bán kính \(R = 2\) có hai dạng:
Chính tắc: \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = {2^2}\)
Tổng quát: \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 4x – 2y + 4z + 5 = 0\).
Vậy đáp án đúng là
B.
Câu 20: Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0\,;\,0\,;\, – 3} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {4\,;\,0\,;\,0} \right)\). Phương trình của \(\left( S \right)\) là
A. \({x^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25\).
B. \({x^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 5\).
C. \({x^2} + {y^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 25\).
D. \({x^2} + {y^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 5\).
Lời giải:
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0\,;\,0\,;\, – 3} \right)\) và bán kính \(R\) là: \({x^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = {R^2}\).
Ta có: \(M \in \left( S \right) \Rightarrow {4^2} + {0^2} + {\left( {0 + 3} \right)^2} = {R^2} \Leftrightarrow {R^2} = 25\).
Vậy phương trình cần tìm là: \({x^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25\).
Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1; – 2;7} \right),B\left( { – 3;8; – 1} \right)\). Mặt cầu đường kính \(AB\) có phương trình là
A. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = \sqrt {45} \).
B. \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 45\).
C. \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \sqrt {45} \).
D. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 45\).
Lời giải:
Gọi \(I\)là trung điểm \(AB\) ta có \(I\left( { – 1;3;3} \right)\) là tâm mặt cầu.
Bán kính \(R = IA = \sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( { – 2 – 3} \right)}^2} + {{\left( {7 – 3} \right)}^2}} = \sqrt {45} .\)
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 45\).
Câu 22: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A, B\(\left( { – 2;2; – 3} \right)\). Phương trình mặt cầu đường kính AB là
A. \({x^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 36.\)
B. \({x^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 9.\)
C. \({x^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9.\)
D. \({x^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 36.\)
Lời giải:
Gọi I là trung điểm của AB \( \Rightarrow I(0;3; – 1).\)
\(\overrightarrow {IA} = (2;1;2) \Rightarrow IA = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} = 3.\)
Mặt cầu đã cho có tâm I, đường kính AB nên có phương trình là \({x^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9.\)
Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hỏi trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình của mặt cầu?
A. \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 4z – 1 = 0\)
B. \({x^2} + {z^2} + 3x – 2y + 4z – 1 = 0\)
C. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy – 4y + 4z – 1 = 0\)
D. \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 2y – 4z + 8 = 0\)
Lời giải:
Đáp án B vì không có số hạng \({y^2}\). Đáp án C loại vì có số hạng \(2xy\). Đáp án D loại vì \({a^2} + {b^2} + {c^2} – d = 1 + 1 + 4 – 8 = – 2 < 0\). Đáp án A thỏa mãn vì \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + 0 + 4 + 1 = 6 > 0\).
Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một mặt cầu?
A. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + x – 2y + 4z – 3 = 0\).
B. \(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} – x – y – z = 0\).
C. \(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 4x + 8y + 6z + 3 = 0\).
D. \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 4y – 4z + 10 = 0\).
Lời giải:
Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0\) là phương trình của một mặt cầu nếu \({a^2} + {b^2} + {c^2} – d > 0\).