Câu hỏi:
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\):\({x^2} + {y^2} + {z^2} – 4x + 2y – 2z – 3 = 0\) và điểm \(A\left( {5;3;1} \right)\). Một đường thẳng \(d\) thay đổi luôn đi qua \(A\) và cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt \(M,N\), (\(M\)nằm giữa \(A\)và \(N\)). Tính giá trị nhỏ nhất của \(S = 8AM + AN\).
A. \(20\).
B. \(18\).
C. \(16\).
D. \(16\sqrt 2 \).
Lời giải
Mặt cầu \(\left( S \right)\):\({x^2} + {y^2} + {z^2} – 4x + 2y – 2z – 3 = 0\) có tâm \(I\left( {2; – 1;1} \right)\), bán kính \(R = 3\).
Vì \(IA = 5 > R\) nên \(A\) nằm ngoài mặt cầu.
Do đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt \(M,N\), (\(M\)nằm giữa \(A\)và \(N\)) ta có: \(AM.AN = I{A^2} – {R^2} = 16\) và \(IA – R \le AM < \sqrt {16} \Leftrightarrow 2 \le AM < 4\)
Đặt \(AM = x(2 \le x < 4)\), ta có \(S = 8x + \frac{{16}}{x}\).
\(S’ = 8 – \frac{{16}}{{{x^2}}} = \frac{{8({x^2} – 2)}}{{{x^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {2;4} \right) \Rightarrow \) Hàm \(S\)đồng biến trên \(\left[ {2;4} \right)\).
Vậy \(\mathop {Min}\limits_{2 \le x < 4} S = S\left( 2 \right) = 18\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ
Trả lời