Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {0\;;\;8\;;\;2} \right)\) và mặt cầu có phương trình \(\left( S \right):{\left( {x – 5} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z – 7} \right)^2} = 72\)và điểm \(B\left( {9\;;\; – 7\;;\;23} \right)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(A\) và tiếp xúc với \(\left( S \right)\)sao cho khoảng cách từ \(B\) đến \(\left( P \right)\) lớn nhất. Giả sử \(\overrightarrow n = \left( {1\;;\;m\;;\;n} \right)\)là một véc tơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\), hãy tính tích \(m.n\) biết \(m\,,\,n\) là các số nguyên.
A. \(m.n = 2\).
B. \(m.n = – 2\).
C. \(m.n = 4\).
D. \(m.n = – 4\).
Lời giải
Mặt cầu \(\left( S \right)\)có tâm \(I(5\;;\; – 3\;;\;7)\)và bán kính \(R = 6\sqrt 2 \).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {1\;;\;m\;;\;n} \right)\)làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình:
\(x + my + nz – 8m – 2n = 0\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\)\( \Leftrightarrow d\left( {I,\left( P \right)} \right) = R\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {5n – 11m + 5} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = 6\sqrt 2 \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {21n – 15m + 9} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = \frac{{\left| {5n – 11m + 5 – 4m + 16n + 4} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }}\\ \le \frac{{\left| {5n – 11m + 5} \right| + 4\left| {4n – m + 1} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} \le 6\sqrt 2 + 4\frac{{\sqrt {({4^2} + {{( – 1)}^2} + {1^2})({n^2} + {m^2} + 1)} }}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }}\\ = 18\sqrt 2 \end{array}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{n}{4} = \frac{m}{{ – 1}} = \frac{1}{1} \Leftrightarrow m = – 1;n = 4\). Vậy \(m.n = – 4\)
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ
Để lại phản hồi