Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\): \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\). Từ điểm \(S\) bất kỳ trên mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) kẻ ba đường thẳng cắt mặt cầu tại các điểm \(A\), \(B\), \(C\) sao cho \(SA = SB = SC\) và \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA}\). Khi thể tích của khối chóp \(S.ABC\) lớn nhất, viết phương trình mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\) đi qua tâm của \(\left( {{S_1}} \right)\)và tiếp xúc với \(\left( {ABC} \right)\).

Câu hỏi:

Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\): \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\). Từ điểm \(S\) bất kỳ trên mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) kẻ ba đường thẳng cắt mặt cầu tại các điểm \(A\), \(B\), \(C\) sao cho \(SA = SB = SC\) và \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA}\). Khi thể tích của khối chóp \(S.ABC\) lớn nhất, viết phương trình mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\) đi qua tâm của \(\left( {{S_1}} \right)\)và tiếp xúc với \(\left( {ABC} \right)\).

A. \({x^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{1}{8}\).

B. \({x^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{1}{{27}}\).

C. \({x^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{1}{4}\).

D. \({x^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{1}{9}\)

Lời giải

⬥ Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \((ABC)\).

⬥ Do \(OA = OB = OC = R = 1\) và \(SA = SB = SC\) nên ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) nằm trên đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu \({S_1}\left( {O,\;1} \right)\)và \({S_2}\left( {S,\;SA} \right)\). Do đó, điểm \(H\) nằm trên đường thẳng \(OS\).

⬥ Ta lại có nên ba tam giác \(SAB\), \(SBC\), \(SCA\) bằng nhau. Suy ra, \(AB = BC = CA\) hay tam giác \(ABC\) là tam giác đều. Từ đó ta có \(S.ABC\) là hình chóp đều.

⬥ Do tính đối xứng trong khối cầu nên khối chóp \(S.ABC\) có thể tích lớn nhất khi \(H\) nằm khác phía với \(S\) qua \(O\).

Khi \(\alpha \) thay đổi thì \(H\) thay đổi theo. Đặt \(h = OH\), \(0 \le h < 1\). Khi đó, \(SH = SO + OH = 1 + h\).

\(HA = \sqrt {O{A^2} – O{H^2}} = \sqrt {1 – {h^2}} \), \(AB = \sqrt 3 AH = \sqrt 3 .\sqrt {1 – {h^2}} \).

⬥ Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng

\(V\left( h \right) = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.SH.\frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {1 + h} \right)\left( {1 – {h^2}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( { – {h^3} – {h^2} + h + 1} \right)\).

\(V’\left( h \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( { – 3{h^2} – 2h + 1} \right)\).

\(V’\left( h \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{h = 0}\\{h = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\).

⬥ Bảng biến thiên của \(V\left( h \right)\)

Mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\) tiếp xúc với \(\left( {ABC} \right)\) nên có bán kính bằng \(OH = \frac{1}{3}\).

Phương trình mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\) đi qua tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\) là: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{1}{9}\).

==================== Thuộc chủ đề:  Trắc nghiệm Hình học OXYZ