Cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 9\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = 2 + t\\z = – 1 – 3t\end{array} \right.\). Gọi \(A\) là một điểm di động trên mặt cầu \(\left( S \right)\). Biết rằng có 2 mặt phẳng \(\left( P \right)\), \(\left( {P’} \right)\) cùng chứa \(d\) và tiếp xúc với mặt \(\left( S \right)\) lần lượt tại \(B,\,\,C\). Diện tích tam giác \(ABC\) lớn nhất bằng
A. \(\frac{{144}}{{25}}\).
B. \(\frac{{288}}{{25}}\).
C. \(\frac{{144}}{5}\).
D. \(\frac{{288}}{5}\).
Lời giải
\(\left( d \right)\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {4;1; – 3} \right)\)
\(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { – 1;2; – 5} \right)\) và bán kính \(R = 3\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}IB \bot d\,\,\left( {IB \bot \left( P \right)} \right)\\IC \bot d\,\,\left( {IC \bot \left( {P’} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {IBC} \right) \bot d\,\,\)
Gọi \(H = \left( {IAB} \right) \cap d \Rightarrow H\left( {2 + 4t;2 + t; – 1 – 3t} \right)\)
\(\overrightarrow {IH} = \left( {3 + 4t;t;4 – 3t} \right)\)
\(IH \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {IH} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow 4\left( {3 + 4t} \right) + t – 3\left( {4 – 3t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 0\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {IH} = \left( {3;0;4} \right) \Rightarrow IH = 5 \Rightarrow BH = \sqrt {I{H^2} – I{B^2}} = 4\)
Gọi \(M = IH \cap BC\)
\(\Delta IBH = \Delta ICH\left( {ch – cgv} \right) \Rightarrow HB = HC\)
Mà \(IB = IC\) nên \(IH\) là đường trung trực của \(BC \Rightarrow M\) là trung điểm của \(BC\)
\(\frac{1}{{B{M^2}}} = \frac{1}{{B{I^2}}} + \frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{{25}}{{144}} \Rightarrow BM = \frac{{12}}{5} \Rightarrow BC = 2BM = \frac{{24}}{5}\); \(IM = \sqrt {I{B^2} – B{M^2}} = \frac{9}{5}\)
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BC.d\left( {A;BC} \right) \le \frac{1}{2}BC.AM \le \frac{1}{2}BC.\left( {IA + IM} \right)\)
\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} \le \frac{1}{2}.\frac{{24}}{5}.\left( {3 + \frac{9}{5}} \right)\)
\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} \le \frac{{288}}{{25}}\)
\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC\,\,\max }} = \frac{{288}}{{25}}\)
Vậy chọn B.
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ
Trả lời