Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $a$, có $SA=h$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của :1) $SB$ và $CD$.2) $SC$ và $BD$. Lời giải a.$AB\bot BC, SA\bot BC\Rightarrow BC\bot (SAB)\Rightarrow BC\bot SB$ mà $BC\bot CD\Rightarrow $ […]
Hình học không gian
Đề bài: Cho $\Delta ABC$ có đỉnh $A$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha) $ hai đỉnh $B,C$ có hình chiếu xuống $(\alpha) $ lần lượt là $B_1,C_1$ sao cho $\Delta AB_1C_1$ là tam giác đều cạnh $a$. Giả sử $CC_1=a$ và $BB_1=\frac{a}{2} $.Gọi $I$ là giao điểm của $BC,B_1C_1$$a.$ Chứng minh rằng $IA\bot AC$$b.$ Tính diện tích $\Delta ABC$ rồi suy ra giá trị của góc $\varphi$ giữa hai mặt phẳng $(\alpha) $ và $(ABC)$
Đề bài: Cho $\Delta ABC$ có đỉnh $A$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha) $ hai đỉnh $B,C$ có hình chiếu xuống $(\alpha) $ lần lượt là $B_1,C_1$ sao cho $\Delta AB_1C_1$ là tam giác đều cạnh $a$. Giả sử $CC_1=a$ và $BB_1=\frac{a}{2} $.Gọi $I$ là giao điểm của $BC,B_1C_1$$a.$ Chứng minh rằng $IA\bot AC$$b.$ Tính […]
Đề bài: Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$. Gọi $P,Q$ là các điểm xác định bởi $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{D'A}, \overrightarrow{C'Q}=\overrightarrow{DC'}.$ Chứng minh rằng đường thẳng $PQ$ đi qua trung điểm của cạnh $BB'$.
Đề bài: Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$. Gọi $P,Q$ là các điểm xác định bởi $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{D'A}, \overrightarrow{C'Q}=\overrightarrow{DC'}.$ Chứng minh rằng đường thẳng $PQ$ đi qua trung điểm của cạnh $BB'$. Lời giải Đặt $\overrightarrow{AA’}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}, \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{c}$.Gọi $M$ là trung điểm của $BB’$, khi đó$\overrightarrow{AD’}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\Rightarrow \overrightarrow{AP}=-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c} $ $\overrightarrow{DC’}= \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\Rightarrow \overrightarrow{C’Q}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} $$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AP}=-\frac{\overrightarrow{a} }{2}-\overrightarrow{b}- \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}=-\frac{3 \overrightarrow{a} […]
Đề bài: Cho tứ diện $OABC$ vuông tại $O$ biết $AB=BC=5;CA=3\sqrt{2} $$a.$ Tính $OA,OB,OC$$b.$ Kẻ $OH\bot (ABC)$. Tính $OH$ và diện tích các tam giác $OAB,OAC,OBC,ABC$
Đề bài: Cho tứ diện $OABC$ vuông tại $O$ biết $AB=BC=5;CA=3\sqrt{2} $$a.$ Tính $OA,OB,OC$$b.$ Kẻ $OH\bot (ABC)$. Tính $OH$ và diện tích các tam giác $OAB,OAC,OBC,ABC$ Lời giải (bạn đọc vẽ hình để theo dõi )$a,$ Vì $AB=BC=5$ nên sử dụng định lí pytago trong các tam giác vuông $AOB,COB$ ta suy ra : $OA=OC$Đặt […]
Đề bài: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ mà khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $2a$. Với giá trị nào của $\alpha$, với $\alpha $ là góc giữa mặt bên và đáy của hình chóp, thì thể tích khối chóp là nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
Đề bài: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ mà khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $2a$. Với giá trị nào của $\alpha$, với $\alpha $ là góc giữa mặt bên và đáy của hình chóp, thì thể tích khối chóp là nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó. Lời […]
Đề bài: Cho tam giác $ABC$ cạnh $a$, đường cao $AH$. Trên tia $AH$ ta lấy một điểm $I$ biết $AI=\frac{1}{3} AH$. Trên đường thẳng $\Delta $ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ tại điểm $I$, lấy một điểm $S, IS=a$$a.$ Chứng minh $SB\bot BA,SC\bot CA$$b.$ Tính diện tích các mặt bên của hình chóp $SABC$
Đề bài: Cho tam giác $ABC$ cạnh $a$, đường cao $AH$. Trên tia $AH$ ta lấy một điểm $I$ biết $AI=\frac{1}{3} AH$. Trên đường thẳng $\Delta $ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ tại điểm $I$, lấy một điểm $S, IS=a$$a.$ Chứng minh $SB\bot BA,SC\bot CA$$b.$ Tính diện tích các mặt bên của hình chóp […]
Đề bài: Trên 3 cạnh của một tam diện vuông đỉnh $O$ ta lấy $OA=OB=OC=a$a) Chứng minh rằng tam giác $ABC$ đều và tính diện tích của nób) Tính độ dài đừng cao hạ từ $O$ xuống mặt phẳng $(ABC)$. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $H$ qua $O$. Chứng minh rằng $ABCD$ là tứ diện đều
Đề bài: Trên 3 cạnh của một tam diện vuông đỉnh $O$ ta lấy $OA=OB=OC=a$a) Chứng minh rằng tam giác $ABC$ đều và tính diện tích của nób) Tính độ dài đừng cao hạ từ $O$ xuống mặt phẳng $(ABC)$. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $H$ qua $O$. Chứng minh rằng $ABCD$ là […]
Đề bài: Cho một khối tứ diện đều, hãy chứng minh rằng:a) Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều.b) Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối $8$ mặt đều.
Đề bài: Cho một khối tứ diện đều, hãy chứng minh rằng:a) Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều.b) Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối $8$ mặt đều. Lời giải a) Với tứ diện đều $ABCD$, gọi […]
Đề bài: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A_1B_1C_1$ có đáy $ABC$ vuông cân tại $A$.Đoạn nối trung điểm $M$ của $AB$ và trung điểm $N$ của $B_1C_1$ có độ dài bằng $a,MN$ hợp với đáy góc $\alpha $ và mặt bên $(BCC_1B_1)$ góc $\beta $$a.$ Tính các đáy và cạnh bên của lăng trụ theo $a,\alpha $$b.$ chứng minh rằng $cos\alpha =\sqrt{2}sin\beta $
Đề bài: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A_1B_1C_1$ có đáy $ABC$ vuông cân tại $A$.Đoạn nối trung điểm $M$ của $AB$ và trung điểm $N$ của $B_1C_1$ có độ dài bằng $a,MN$ hợp với đáy góc $\alpha $ và mặt bên $(BCC_1B_1)$ góc $\beta $$a.$ Tính các đáy và cạnh bên của lăng trụ theo […]
Đề bài: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=3a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Tam giác $ABC$ có $AB=BC=2a, \widehat{ABC}=120^0$. Tìm khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.
Đề bài: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=3a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Tam giác $ABC$ có $AB=BC=2a, \widehat{ABC}=120^0$. Tìm khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$. Lời giải cần giải chi tiết (đáp số $\frac{3a\sqrt{13}}{13}$).