Đề bài: Cho một khối tứ diện đều, hãy chứng minh rằng:a) Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều.b) Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối $8$ mặt đều.

Lời giải

a) Với tứ diện đều $ABCD$, gọi $G_1,G_2,G_3,G_4,G$ theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác $\Delta ABC, \Delta ABD, \Delta ACD, \Delta BCD$ và tứ diện $ABCD$.
Khi đó, với phép vị tự tâm $G$ tỉ số $k=-\frac{1}{3}$, ta có:
$V_G^{-\frac{1}{3}}(ABCD)=(G_4G_3G_2G_1)$
Vì $ABCD$ là tứ diện đều nên $G_1G_2G_3G_4$ cũng là một tứ diện đều.
b) Với tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$, gọi $M,N,P,Q,R,S$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $AB,AC,AD,CD,BD$ và $BC$
Ta có ngay:
$MN=NP=MP=\frac{a}{2}; QR=RS=SQ=\frac{a}{2}$
$SM=SN=MN=\frac{a}{2}; QP=QN=NP=\frac{a}{2}; RP=RM=MP=\frac{a}{2}$
Vậy, trung điểm của các cạnh của tứ diện đều $ABCD$  là các đỉnh của một khối $8$ mặt đều.