Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD.$Gọi $D_{1},D_{2},D_{3}$ lần lượt là điểm đối xứng của điểm $D'$ qua $A,B,C$.Chứng minh rằng $B$ là trọng tâm của tứ diện $D_{1}D_{2}D_{3}D'$.

Lời giải

Ta lần lượt:
*Gọi $I$ là giao điểm của $BD’$ với mặt phẳng $(AB’C)$ thì $D’I=2IB$ và $I$ là trọng tâm $\Delta AB’C$.
*Gọi $J$ là giao điểm của $BD’$ với mặt phẳng $(D_{1}D_{2}D_{3})$ thì vì $D_{1},D_{2},D_{3}$ lần lượt là điểm đối xứng của điểm $D’$ qua $A,B’,C$ nên:
$(D_{1}D_{2}D_{3})// (AB’C) \Rightarrow J$ là trọng tâm $\Delta D_{1}D_{2}D_{3}$.
$IJ=ID’ \Rightarrow D’B=\frac{3}{4}D’J \Rightarrow B$ là trọng tâm tứ diện $D_{1}D_{2}D_{3}D’$