Đề bài: Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M$ và $N$ theo thứ tự là trung điểm của $AB$ và $SC$.a) Xác định các giao điểm $I$ và $J$ của mp$(SBD)$ theo thứ tự với các đường thẳng $AN$ và $MN$.b) Tính các tỉ số $\frac{IA}{IN}, \frac{JM}{JN}, \frac{IB}{IJ}.$ 

Lời giải

 a) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.
    Tam giác $SAC$ có hai trung tuyến $SO$ và $AN$ cắt nhau tại trọng tâm $I$ của nó. Mặt khác đường thẳng $SO$ cũng thuộc mp$(SBD)$ nên $I$ là giao điểm của $AN$ và mp$(SBD)$.
    Ta có $BI$ và $MN$ đều thuộc mp$(ANB)$, vậy $MN$ và $BI$ cắt nhau tại một điểm $J$ (vì dễ thấy $MN$ và $BI$ không thể song song). Rõ ràng $J\in(SBD)$. Vậy $J$ là giao điểm của $NM$ và $(SBD)$.
b) Vì $I$ là trọng tâm tam giác $SAC$ nên $\frac{IA}{IN}=2$.
Gọi $K$ là giao điểm của $BI$ và $SD$ thì $K$ là trung điểm của $SD$. Vậy $KN\parallel DC$ và $KN=\frac{1}{2}DC $, suy ra $KN\parallel MB$. Do đó $KNBM$ là hình bình hành. Vậy $\frac{JM}{JN}=1$.
Trong mặt phẳng $(ANB)$ kẻ $IL\parallel NM$, ta có:
$\frac{LM}{ AM}=\frac{IN}{AN}=\frac{1}{3}. $
Do vậy, $\frac{LB}{LM}=4$, suy ra $\frac{IB}{IJ}=4.$