Đề bài: Trên hai mặt phẳng $(P)$ và $(P')$ song song nhau, ta vẽ tương ứng hai đường tròn $(O, R)$ và $(O', R')$, với $OO'\bot (P)$. Gọi $OA$ và $O'B$ theo thứ tự là hai bán kính của hai đường tròn trên sao cho $OA\bot OB$. Cho $OO'=h$.a) Vẽ đường vuông góc chung của $AB$ và $OO'$.b) Chứng minh đường vuông góc chung này qua một điểm cố định. Hãy tìm quỹ tích đầu mút di động của đoạn vuông góc chung này.

Lời giải

 a) Vẽ $A’A\parallel O’O   ( A’ \in (P’))$ thì $A’A\bot (P’)$ nên $A’A\bot O’I$. Vẽ $O’I\bot A’B(I\in A’B)$, ta suy ra $O’I\bot$ mp$(ABA’)$ nên $O’I\bot A’B$. Vẽ $IJ\parallel A’A(J\in AB)$ và $JK\parallel O’I(K\in O’O)$, suy ra $KJ\bot AB$ và $KJ\bot O’O$. Vậy $KJ$ là đoạn vuông góc chung của $AB$ và $O’O$.

b) Để ý rằng $OA, JK, O’B$ nằm trên $3$ mặt phắng song song với nhau
$\frac{KO}{KO’}=\frac{JA}{JB}=\frac{IA’}{IB}.  (1)$
Bây giờ, vì $O’A’\parallel OA$ nên $O’A’\bot OB$. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $BO’A’$, đường cao $O’I$, ta được
$OA’^2=A’I.A’B;            O’B^2=BI.BA’                  (2)$
Kết hợp $(1)$ và $(2)$ ta suy ra
$\frac{KO}{KO’}=\frac{IA’}{IB}=\frac{OA’^2}{OB^2}=\frac{R^2}{R’^2} . $
Điều này chứng tỏ rằng $K$ cố định.
Vậy đường vuông góc chung $KJ$ đi qua điểm $K$ cố định.
   Tiếp theo, ta tìm quỹ tích của điểm $J$. Ta có
$KJ=O’I=\frac{O’A’.O’B}{A’B}=\frac{O’A’.O’B’}{\sqrt{O’A’^2+O’B’^2} }=\frac{RR’}{\sqrt{R^2+R’^2} },$
suy ra quỹ tích của $J$ là đường tròn tâm $K$, bán kính $\frac{RR’}{\sqrt{R^2+R’^2} }$, nằm trong mặt phẳng qua $K$ và vuông góc với $O’O$.