Lời giải
a) Vẽ $A’A\parallel O’O ( A’ \in (P’))$ thì $A’A\bot (P’)$ nên $A’A\bot O’I$. Vẽ $O’I\bot A’B(I\in A’B)$, ta suy ra $O’I\bot$ mp$(ABA’)$ nên $O’I\bot A’B$. Vẽ $IJ\parallel A’A(J\in AB)$ và $JK\parallel O’I(K\in O’O)$, suy ra $KJ\bot AB$ và $KJ\bot O’O$. Vậy $KJ$ là đoạn vuông góc chung của $AB$ và $O’O$.
b) Để ý rằng $OA, JK, O’B$ nằm trên $3$ mặt phắng song song với nhau
$\frac{KO}{KO’}=\frac{JA}{JB}=\frac{IA’}{IB}. (1)$
Bây giờ, vì $O’A’\parallel OA$ nên $O’A’\bot OB$. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $BO’A’$, đường cao $O’I$, ta được
$OA’^2=A’I.A’B; O’B^2=BI.BA’ (2)$
Kết hợp $(1)$ và $(2)$ ta suy ra
$\frac{KO}{KO’}=\frac{IA’}{IB}=\frac{OA’^2}{OB^2}=\frac{R^2}{R’^2} . $
Điều này chứng tỏ rằng $K$ cố định.
Vậy đường vuông góc chung $KJ$ đi qua điểm $K$ cố định.
Tiếp theo, ta tìm quỹ tích của điểm $J$. Ta có
$KJ=O’I=\frac{O’A’.O’B}{A’B}=\frac{O’A’.O’B’}{\sqrt{O’A’^2+O’B’^2} }=\frac{RR’}{\sqrt{R^2+R’^2} },$
suy ra quỹ tích của $J$ là đường tròn tâm $K$, bán kính $\frac{RR’}{\sqrt{R^2+R’^2} }$, nằm trong mặt phẳng qua $K$ và vuông góc với $O’O$.
Trả lời