Đề bài: Trong mặt phẳng $(P)$ cho tam giác $ABC$ vuông tại $C, AB=2a,\widehat{CAB}=60^0$, đoạn $SA=h$ và $SA$ vuông góc với $(P)$. Tìm $h$ sao cho góc giữa hai mặt phẳng $(SAB),(SBC)$ bằng $60^0$.
Lời giải
Kẻ $AH \bot SC, AK \bot SB ( H\in SC, K\in SB)$.
Dễ dàng nhận thấy $\widehat{AKH}=\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(SAB),(SBC)$. Từ đó:
$\alpha =60^0\Leftrightarrow \sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \frac{AK}{AH}=\frac{\sqrt{3}}{2} (1)$
Ta có: $AH=\frac{AS.AC}{SC}=\frac{ah}{\sqrt{a^2+h^2}};AK=\frac{AS.AB}{SB}=\frac{2ah}{\sqrt{2a^2+h^2}}$
Thay vào $(1)$ suy ra: $\frac{\sqrt{4a^2+h^2}}{2\sqrt{a^2+h^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow 4a^2+h^2=3a^2+3h^2 \Leftrightarrow h=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Trả lời