Đề bài: Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$. Gọi $P,Q$ là các điểm xác định bởi $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{D'A}, \overrightarrow{C'Q}=\overrightarrow{DC'}.$ Chứng minh rằng đường thẳng $PQ$ đi qua trung điểm của cạnh $BB'$.

Lời giải

Đặt $\overrightarrow{AA’}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}, \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{c}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BB’$, khi đó
$\overrightarrow{AD’}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\Rightarrow  \overrightarrow{AP}=-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c} $   
$\overrightarrow{DC’}= \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\Rightarrow  \overrightarrow{C’Q}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} $
$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AP}=-\frac{\overrightarrow{a} }{2}-\overrightarrow{b}- \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}=-\frac{3 \overrightarrow{a} }{2}-\overrightarrow{b}- \overrightarrow{c}$
$\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{MB’}+\overrightarrow{B’C’}+\overrightarrow{C’Q}=\frac{\overrightarrow{a} }{2}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}+ \overrightarrow{a}=\frac{3 \overrightarrow{a} }{2}+\overrightarrow{b}+ \overrightarrow{c}$    
Từ đó  $\overrightarrow{MP}=- \overrightarrow{MQ}$, suy ra $M, P, Q$ thẳng hàng.
Nói cách khác, đường thẳng $PQ$ đi qua trung điểm của cạnh $BB’$.