Đề bài: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ mà khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $2a$. Với giá trị nào của $\alpha$,  với $\alpha $ là góc giữa mặt bên và đáy của hình chóp, thì thể tích khối chóp là nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.

Lời giải

Goi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AD,BC$. Ta có $\widehat{SNM}= \alpha$.

Do $DA//BC \Rightarrow AD// (SBC) \Rightarrow d(A,(SBC))=d(M,(SBC))=MH=2a$.
Ở đây : $MH \bot SN (H \in SN)  ($ chú ý vì $(SMN) \bot (SBC)$ nên $MH \bot (SBC))$
Ta có: $MN=\frac{MH}{\sin \alpha}=\frac{2a}{\sin \alpha}$.
Từ đó: $SO=ON \tan \alpha=\frac{a}{\sin \alpha}.\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{a}{\cos \alpha}$.
Do đó $ V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}(\frac{2a}{\sin \alpha})^2.\frac{a}{\cos \alpha}=\frac{4a^3}{3\sin^2\alpha \cos  \alpha} (1)$
Từ $(1)$ suy ra $V_{S.ABCD}$ bé nhất khi và chỉ khi $\sin^2\alpha \cos  \alpha$ lớn nhất.
Xét biểu thức $P=\sin^2\alpha \cos  \alpha=\cos (1-\cos^2\alpha)=\cos \alpha-\cos^3\alpha  (2)$
Từ $(2)$ dẫn đến xét hàm số $y=x-x^3 ; 0Ta có: $y’=1-3x^2$ và ta có bảng biến thiên sau:

Từ đó $y_{\max}=y(\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{2\sqrt{3}}{9}\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Vậy $V_{S.ABCD}$ nhận giá trị bé nhất bằng $\frac{4a^3}{3.\frac{2\sqrt{3}}{9}}=2\sqrt{3}a^3$ khi và chỉ khi $\cos \alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$