Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân đỉnh \(B\), \(SB = a\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng và \(\left( {ABC} \right)\). Xác định giá trị của \(\sin \alpha \) để thể tích khối chóp \(S.ABC\) lớn nhất.
A. \(\sin \alpha= \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\)
B. \(\sin \alpha= \frac{{2\sqrt 3 }}{3}.\)
C. \(\sin \alpha= 1.\)
D. \(\sin \alpha= \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có: \( \Rightarrow \alpha= \left( {\widehat {\,\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)\,}} \right) = \widehat {\,SBA\,}.\)
+) \(BC = AB = a.\cos \alpha;\) \(SA = a.\sin \alpha \).
+) \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA. {S_{ABC}} = \frac{1}{6}.SA. A
B. BC\)\( = \frac{1}{6}{a^3}.\sin \alpha.{\cos ^2}\alpha.\)
Đặt \(x = \sin \alpha,\left( {0 < x < 1} \right),\) khi đó \(V = \frac{1}{6}{a^3}.x\left( {1 – {x^2}} \right) = \frac{1}{6}.{a^3}.\left( {x – {x^3}} \right)\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{6}.{a^3}.\left( {x – {x^3}} \right)\) với \(0 < x < 1\). Ta có \(y’ = \frac{1}{6}.{a^3}.\left( {1 – 3{x^2}} \right)\).
Lập bảng biến thiên ta có\(f\left( x \right)\) đạt GTLNkhi \(x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy \({V_{\max }} \Leftrightarrow \sin \alpha= \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Khối đa diện
Trả lời