(Sở Thái Nguyên 2022) Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(AB = 6\sqrt 3 ,\widehat {CAB} = 30^\circ \). Đỉnh \(S\) cách đều ba điểm \(A,B,C\) và cạnh bên \(SB\) tạo với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) một góc \(45^\circ \). Hai điểm \(M,Q\) lần lượt thuộc các đoạn \(AB\) và \(SB\) sao cho \(AM = 2MB,QB = 2QS\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa \(M,Q\) và song song với đường thẳng \(BC\) chia khối chóp \(S.ABC\) thành hai khối đa diện có thể tích lần lượt là \({V_1},{V_2}\left( {{V_1} < {V_2}} \right)\). Giá trị của \({V_2}\) là
A. \(22\sqrt 3 \).
B. \(20\sqrt 3 \).
C. \(24\sqrt 3 \).
D. \(26\sqrt 3 \).
Lời giải:
Chọn B
Có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right)\\BC \subset \left( {ABC} \right)\\BC{\rm{//}}\alpha \end{array} \right. \Rightarrow \)\(\left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right) = {d_1}\) qua \(M\) và \({d_1}{\rm{//}}BC\).
Gọi \(N = {d_1} \cap AC\).
Có \(\left\{ \begin{array}{l}Q \in \left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right)\\BC{\rm{//}}\alpha \end{array} \right. \Rightarrow \)\(\left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right) = {d_2}\) qua \(Q\) và \({d_2}{\rm{//}}BC\).
Gọi \(K = {d_2} \cap SC\).
Thiết diện của \(\left( \alpha \right)\) với hình chóp là hình thang \(MNKQ\).
Gọi \(P = MQ \cap KN \Rightarrow P \in SA = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SAC} \right)\).
Có \(QK = \frac{1}{3}BC;MN = \frac{2}{3}BC \Rightarrow QK = \frac{1}{2}MN\).
Lại có: \(QK{\rm{//}}MN\).
Suy ra: \(QK\) là đường trung bình của tam giác \(PMN\).
Ta có: \(\frac{{PS}}{{PA}}.\frac{{MA}}{{MB}}.\frac{{QB}}{{QS}} = 1 \Rightarrow \frac{{PS}}{{PA}} = \frac{1}{4}\).
\(\frac{{{V_{PSQK}}}}{{{V_{PAMN}}}} = \frac{{PS}}{{PA}}.\frac{{PQ}}{{PM}}.\frac{{PK}}{{PN}} = \frac{1}{4}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{{16}} \Rightarrow {V_{SQKAMN}} = \frac{{15}}{{16}}{V_{PAMN}}\)
\({V_{SABC}} = \frac{1}{3}SI.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.6.\frac{1}{2}.6.6\sqrt 3 = 36\sqrt 3 \).
\(V{}_{PAMN} = \frac{1}{3}d\left( {P;\left( {ABC} \right)} \right).{S_{\Delta AMN}} = \frac{1}{3}.\frac{4}{3}.6.\frac{4}{9}.\frac{1}{2}6.6\sqrt 3 = \frac{{64\sqrt 3 }}{3}\)\( \Rightarrow {V_{SQKAMN}} = \frac{{15}}{{16}}.\frac{{32\sqrt 3 }}{3} = 20\sqrt 3 \).
\({V_{MNBCKQ}} = {V_{ABCD}} – {V_{SQKAMN}} = 36\sqrt 3 – 20\sqrt 3 = 16\sqrt 3 \).
Vậy \({V_1} = 16\sqrt 3 ,{V_2} = 20\sqrt 3 \).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Thể tích đa diện
Trả lời