A. \(\frac{{7\pi {a^3}\sqrt 7 }}{{12}}\).
B. \(\frac{{\pi {a^3}\sqrt 7 }}{6}\).
C. \(\frac{{\pi {a^3}\sqrt 7 }}{{12}}\).
D. \(\frac{{7\pi {a^3}\sqrt 7 }}{6}\).
Lời giải:
Vì \(ABCD\) là hình thoi có \(AB = 2a;\widehat {ABC} = 60^\circ \)nên tam giác \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(2a\) và \(AC \bot BD\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\) suy ra \(AC = 2a\).
Vì \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC,CD,DA\) suy ra tứ giác \(MNPQ\) là hình chữ nhật có \(MP = BC = 2a\). Vì tam giác \(SAB\) là tam giác đều và nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy nên \(SM \bot AB\);\(SM = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \) và \(SM \bot \left( {MNPQ} \right)\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(SP \Rightarrow SI = IP\) và \(OI{\rm{//}}SM \Rightarrow OI \bot \left( {MNPQ} \right)\) nên \(OI\) là trục đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật \(MNPQ\) từ đó suy ra \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.MNPQ\).
Bán kính mặt cầu \(R = \frac{1}{2}SP = \frac{1}{2}\sqrt {S{M^2} + M{P^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\).
Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.MNPQ\) là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 7 }}{2}} \right)^3} = \frac{{7\pi {a^3}\sqrt 7 }}{6}\).
=========== Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Thể tích đa diện.
Trả lời