Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi \(AB = 2a;\widehat {ABC} = 60^\circ \). Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC,CD,DA\). Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.MNPQ\)bằng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi \(AB = 2a;\widehat {ABC} = 60^\circ \). Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC,CD,DA\). Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.MNPQ\)bằng

A. \(\frac{{7\pi {a^3}\sqrt 7 }}{{12}}\).

B. \(\frac{{\pi {a^3}\sqrt 7 }}{6}\).

C. \(\frac{{\pi {a^3}\sqrt 7 }}{{12}}\).

D. \(\frac{{7\pi {a^3}\sqrt 7 }}{6}\).

Lời giải:

Vì \(ABCD\) là hình thoi có \(AB = 2a;\widehat {ABC} = 60^\circ \)nên tam giác \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(2a\) và \(AC \bot BD\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\) suy ra \(AC = 2a\).

Vì \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC,CD,DA\) suy ra tứ giác \(MNPQ\) là hình chữ nhật có \(MP = BC = 2a\). Vì tam giác \(SAB\) là tam giác đều và nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy nên \(SM \bot AB\);\(SM = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \) và \(SM \bot \left( {MNPQ} \right)\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(SP \Rightarrow SI = IP\) và \(OI{\rm{//}}SM \Rightarrow OI \bot \left( {MNPQ} \right)\) nên \(OI\) là trục đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật \(MNPQ\) từ đó suy ra \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.MNPQ\).

Bán kính mặt cầu \(R = \frac{1}{2}SP = \frac{1}{2}\sqrt {S{M^2} + M{P^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\).

Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.MNPQ\) là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 7 }}{2}} \right)^3} = \frac{{7\pi {a^3}\sqrt 7 }}{6}\).

=========== Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Thể tích đa diện.