Cho khối lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), \(A’A = A’B = A’C = 2a\). Biết góc giữa đường thẳng \(AA’\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(60^\circ \). Thể tích lớn nhất của khối lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) bằng bao nhiêu?

A. \({a^3}2\sqrt 3 \)

B. \(\frac{{{a^3}2\sqrt 3 }}{3}\)

C. \({a^3}\sqrt 3 \)

D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)

Lời giải:

Gọi \(O\) là hình chiếu vuông góc của \(A’\) trên \(\left( {ABC} \right)\). Vì \(A’A = A’B = A’C = 2a\) nên \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Do tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(O\) là trung điểm của \(BC\). Khi đó, góc giữa đường thẳng \(AA’\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(\widehat {A’AO} = 60^\circ \).

Ta tính được \(OA = AA’.\cos \widehat {A’AO} = 2a.\cos 60^\circ = a\), \(A’O = A’A.\sin \widehat {A’AO} = 2a.\sin 60^\circ = a\sqrt 3 \).

Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) là \(V = {S_{ABC}} \cdot A’O\) lớn nhất khi và chỉ khi diện tích tam giác \(ABC\) lớn nhất.

Ta có . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(OA \bot BC\), tức là tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\).

Vậy thể tích lớn nhất của khối lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) là \(V = {a^2} \cdot a\sqrt 3 = {a^3}\sqrt 3 \).