Cho hình lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\). Hình chiếu vuông góc của điểm \(D\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm của \(AB\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ACC’A’} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({45^o}\). Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ \(ABC.A’B’C’\).

A. \(V = \frac{{3{a^3}}}{{16}}\).

B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

C. \(V = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

D. \(V = \frac{{{a^3}}}{{16}}\).

Lời giải:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow A’H \bot \left( {ABC} \right)\).

Kẻ \(HK \bot AC\,\,\left( {K \in AC} \right)\) và \(A’H \bot AC \Rightarrow AC \bot \left( {A’HK} \right)\).

Suy ra \(\widehat {\left( {ACC’A’} \right);\left( {ABC} \right)} = \widehat {\left( {A’K;HK} \right)} = \widehat {A’KH} = {45^0}\)

Tam giác \(A’HK\) vuông tại \(H\) , CÓ \(\widehat {A’KH} = {45^0} \Rightarrow A’H = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

Vậy thể tích khối lăng trụ là \(V = A’H.{S_{\Delta ABC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^2}}}{{16}}\) .