Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy là hình thoi tâm \(I\), cạnh \(a\), góc \(BAD\) bằng \(60^\circ \), hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng đáy là trung điểm \(M\) của \(BI\), góc giữa \(SC\) và mặt phẳng đáy bằng \(45^\circ \). Tính theo \(a\) thể tích \(V\)của khối chóp đó.

A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt {39} }}{{12}}\)

B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt {39} }}{{48}}\)

C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt {39} }}{8}\)

D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt {39} }}{{24}}\)

Lời giải:

Các tam giác \(ABD,CBD\) đều nên \({S_{ABCD}} = 2{S_{ABC}} = 2.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Lại có \(MI = \frac{{BD}}{4} = \frac{a}{4};CI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow CM = \sqrt {M{I^2} + C{I^2}} = \frac{{a\sqrt {13} }}{4}\).

Theo bài ra \(\widehat {\left( {SC,(ABCD)} \right)} = \widehat {SCM} = {45^ \circ } \Rightarrow h = SM = CM = \frac{{a\sqrt {13} }}{4}\).

Khi đó \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.h.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt {13} }}{4}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt {39} }}{{24}}\).