Cho hình lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\), \(\,BC = 2a\). Biết

tam giác \(BCB’\) là tam giác cân tại \(B’\) và mặt phẳng \(\left( {BCC’B’} \right)\) vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABB’A’} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(60^\circ \), thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}\).

B. \(\frac{{3{a^3}\sqrt 6 }}{2}\).

C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\).

D. \({a^3}\sqrt 6 \).

Lời giải:

Tam giác \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\), \(\,BC = 2a\) nên \(AB = AC = a\sqrt 2 \).

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}{\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = {a^2}\)

Dựng \(\)\(B’H \bot BC\) thì \(H\) là trung điểm của \(BC\). Vì 2 mặt phẳng \(\left( {BCC’B’} \right)\) vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\) nên \(B’H \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow B’H \bot HK;\,\)

\(HK\) song song với \(AC\), vì \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\) nên \(HK \bot AB\)

Mà \(B’H \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow B’H \bot AB\). Do đó \(AB \bot \left( {B’KH} \right) \Rightarrow AB \bot B’K\)

Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABB’A’} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc \(\widehat {B’KH}\) bằng \(60^\circ \),

Tam giác \(B’KH\) vuông tại \(H\) có \(\widehat {B’KH} = 60^\circ ;KH = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow B’H = KH.\tan 60^\circ = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

Thể tích của khối lăng trụ đã cho là \(V = {S_{ABC}}.B’H = {a^2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}\)