Cho hình lăng trụ \(ABCD.A’B’C’D’\) có đáy \(ABCD\) là nửa lục giác đều có các cạnh\(AB = BC = C{\rm{D}} = \frac{1}{2}AD = a\). Biết \(A’A = A’B = A’C\) và khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((A’C{\rm{D}})\)bằng \(\frac{{2{\rm{a}}\sqrt 3 }}{3}\). Tính thể tích khối lăng trụ.

A.\(\frac{{3\sqrt 3 }}{{10}}{a^3}\).

B.\(\frac{{3\sqrt 3 }}{{20}}{a^3}\).

C.\(\frac{{3\sqrt 5 }}{{10}}{a^3}\).

D.\(\frac{{9\sqrt 5 }}{{20}}{a^3}\).

Lời giải:

Gọi \(H\)là chân đường cao hạ từ đỉnh\(A’\)xuống mặt phẳng \((ABCD)\).

Do \(A’A = A’B = A’C\)\( \Rightarrow \) \(\Delta A’HA = \Delta A’HB = \Delta A’HC \Rightarrow HA = HB = HC\),

Đáy \(ABCD\) là nửa lục giác đều nên \(H\)là trung điểm \(AB\)\( \Rightarrow A’H \bot (ABC{\rm{D}})\).

Gọi \(I\)là trung điểm\(CD\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}C{\rm{D}} \bot HI\\C{\rm{D}} \bot A’H\end{array} \right. \Rightarrow C{\rm{D}} \bot (A’HI)\)

Dựng\(HK \bot A’I \Rightarrow HK \bot \left( {A’C{\rm{D}}} \right)\)

Theo giả thiết

\(\frac{{d\left( {H,\left( {A’CD} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {A’CD} \right)} \right)}} = \frac{{HD}}{{AD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow HK = d\left( {H,\left( {A’CD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {A’CD} \right)} \right) = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\)

Xét \(\Delta A’HI\) có \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{{A’}^2}}} + \frac{1}{{H{I^2}}} \Rightarrow HA’ = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\)

\({V_{ABCD.A’B’C’D’}} = A’H.{S_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}.\frac{{3{{\rm{a}}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{9\sqrt 5 }}{{20}}{a^3}\).