Cho lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), hình chiếu vuông góc của điểm \(A’\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với trọng tâm tam giác \(ABC\). Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA’\) và \(BC\) bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\). Tính theo \(a\) thể tích khối lăng trụ đó.

A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).

B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\).

Lời giải:

+ Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\), \(H\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)\( \Rightarrow A’H \bot \left( {ABC} \right)\).

+ \(AM \bot BC\) và \(AH \bot BC\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {AA’M} \right)\).

+ Trong tam giác \(AA’M\), kẻ \(MN \bot A{\kern 1pt} A’\) tại \(N\)

\(MN \bot BC\) tại \(M\) vì \(BC \bot \left( {AA’M} \right)\).

\( \Rightarrow MN\) là đoạn vuông góc chung của \(AA’\)và \(BC\) \( \Rightarrow MN = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

+ Tam giác \(AA’M\)có \({S_{\Delta AA’M}} = \frac{1}{2}A’H.AM = \frac{1}{2}MN.A{\kern 1pt} A’\)

\( \Rightarrow A’H.AM = MN.A{\kern 1pt} A’ \Leftrightarrow A’H.AM = MN.\sqrt {A'{H^2} + A{H^2}} \)

\( \Rightarrow A’H = \frac{{MN.\sqrt {A'{H^2} + A{H^2}} }}{{AM}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\sqrt {A'{H^2} + {{\left( {\frac{2}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} }}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt {A'{H^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} }}{2}\).

\( \Rightarrow 4A'{H^2} = A'{H^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} \Rightarrow A’H = \frac{a}{3}\).

Vậy thể tích khối lăng trụ \({V_{ABC.A’B’C’}} = A’H.{S_{\Delta ABC}} = \frac{a}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).