Cho khối lăng trụ \(ABC.{A’}{B’}{C’}\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(A,{A’}A = {A’}B = {A’}C = a\). Biết diện tích \(\Delta {A’}BC = \frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}\), thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A.\(\frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{{24}}\)

B. \(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{8}\)

C.\(\frac{{3{a^3}}}{8}\)

D.\(\frac{{{a^3}}}{8}\).

Lời giải:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\)

Gọi \(AH = x\). Ta có : \({A’}{H^2} = A'{A^2} – A{H^2} = {a^2} – {x^2}(1)\)

\(A’H = \frac{{\sqrt 3 a}}{{4BH}} = \frac{{\sqrt 3 a}}{{4x}}(2)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow x = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}\)

\( \Rightarrow A’H = \frac{a}{2}\)\( \Rightarrow V = AH.BH.A’H = {\left( {\frac{{\sqrt 3 a}}{2}} \right)^2}\frac{a}{2} = \frac{{3{a^3}}}{8}\).