Cho hình lăng trụ \(ABCD.A’B’C’D’\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\),\(\widehat {ABC} = 60^\circ \). Chân đường cao hạ từ \(B’\) trùng với tâm \(O\) của đáy \(ABCD\); góc giữa mặt phẳng \(\left( {BB’C’C} \right)\) với đáy bằng \(60^\circ \). Thể tích lăng trụ bằng:

A. \(\frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)

B. \(\frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{9}\)

C. \(\frac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{8}\)

D. \(\frac{{3{a^3}}}{4}\)

Lời giải:

Chọn A

\(ABCD\) là hình thoi nên \(AB = BC\). Lại có \(\widehat {ABC} = 60^\circ \) nên \(\Delta ABC\) là tam giác đều. \(OH \bot BC\). Góc giữa mặt phẳng \(\left( {BB’C’C} \right)\) với đáy khi đó là \(\widehat {B’HO} = 60^\circ \).

Ta có \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{{\frac{{3{a^2}}}{4}}} + \frac{1}{{\frac{{{a^2}}}{4}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{{16}}{{3{a^2}}}\).\( \Rightarrow OH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

Theo giả thiết, \(B’O\) là đường cao lăng trụ \(ABCD.A’B’C’D’\).

\(B’O = OH.tan\widehat {B’HO} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\tan 60^\circ = \frac{{3a}}{4}\).

\({V_{ABCD.A’B’C’D’}} = {S_{day}}.h = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\frac{{3a}}{4} = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)