nbsp; Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác cân tại \(A\), \(AB = 2a,\,\widehat {BAC} = 45^\circ ,\,SA \bot \left( {ABC} \right)\), khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SB,AC\) bằng \(\frac{{4a}}{3}\). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABC\)

A. \(V = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{3}\).

B. \(V = \sqrt 2 {a^3}\).

C. \(V = 4\sqrt 2 {a^3}\).

D. \(V = \frac{{4\sqrt 2 {a^3}}}{3}\).

Lời giải:

Dựng hình bình hành \(ABDC\), khi đó \(AC//\left( {SBD} \right)\).

Ta có\(d\left( {SB,AC} \right) = d\left( {AC,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)\)

Kẻ \(AH \bot BD\,\,\left( {H \in BD\,} \right),\,\,AK \bot SH\,\,\left( {K \in \,SH} \right) \Rightarrow AK = d\left( {SB,AC} \right) = \frac{{4a}}{3}\).

Ta có \(AH = AB\sin 45^\circ = 2a\frac{{\sqrt 2 }}{2} = a\sqrt 2 \).

Xét tam giác \(SAH\) vuông tại \(A\) có \(AK \bot SH\) có

\(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{4a}}{3}} \right)}^2}}} – \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \frac{1}{{16{a^2}}} \Rightarrow SA = 4a \Rightarrow h = 4a\).

Ta có \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin 45^\circ = \frac{1}{2}{\left( {2a} \right)^2}\frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}\sqrt 2 \).

Vì vậy thể tích của khối chóp \(S.ABC\) là \(V = \frac{{Sh}}{3} = \frac{{4\sqrt 2 {a^3}}}{3}\).