Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, tam giác \(SAD\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy \(ABCD\). Biết \(SD = a\), gọi \(K\) là trung điểm của \(AB\), góc giữa đường thẳng \(SK\) với mặt phẳng đáy bằng \(60^\circ \). Tính thể tích V của khối chóp \(S.ABCD\).

A. \(V = \frac{{4{a^3}\sqrt {42} }}{{49}}\)

B. \(V = \frac{{2{a^3}\sqrt {42} }}{{147}}\)

C. \(V = \frac{{2{a^3}\sqrt {42} }}{{49}}\)

D. \(V = \frac{{4{a^3}\sqrt {42} }}{{147}}\)

Lời giải:

Gọi độ dài cạnh hình vuông \(ABCD\) là \(x\;\left( {x > 0} \right)\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AD\)\( \Rightarrow \)\(HA = HD = \frac{{AD}}{2} = \frac{x}{2}\) và \(SH \bot AD\)(vì \(\Delta SAD\) cân tại S).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)}\\{\left( {SAD} \right) \cap \left( {ABCD} \right)}\\{SH \bot AD}\end{array}} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Do đó: \(\left( {SK,\;\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SK,HK} \right) = \angle SKH = 60^\circ \).

Ta lại có: \(HK = \frac{{BD}}{2} = \frac{{x\sqrt 2 }}{2}\)(Vì \(HK\)là đường trung bình trong \(\Delta ABD\)).

\(SH = \sqrt {S{A^2} – A{H^2}} = \sqrt {{a^2} – {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{a^2} – \frac{{{x^2}}}{4}} \) (Vì \(\Delta SHA\)vuông tại H).

Xét \(\Delta SHK\)vuông tại H có: \(\frac{{SH}}{{HK}} = \tan 60^\circ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{a^2} – \frac{{{x^2}}}{4}} }}{{\frac{{x\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 3 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} – \frac{{{x^2}}}{4}} = \frac{{x\sqrt 6 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow {a^2} – \frac{{{x^2}}}{4} = \frac{3}{2}{x^2} \Leftrightarrow \frac{7}{4}{x^2} = {a^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{4{a^2}}}{7} \Leftrightarrow x = \frac{{2a}}{{\sqrt 7 }}\)

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = \frac{{4{a^2}}}{7};\;SH = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}\). Do đó: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt {42} }}{7}.\frac{{4{a^2}}}{7} = \frac{{4{a^3}\sqrt {42} }}{{147}}\).