Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, tam giác \(SAD\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy \(ABCD\). Biết \(SD = a\), gọi \(K\) là trung điểm của \(AB\), góc giữa đường thẳng \(SK\) với mặt phẳng đáy bằng \(60^\circ \). Tính thể tích V của khối chóp \(S.ABCD\).

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, tam giác \(SAD\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy \(ABCD\). Biết \(SD = a\), gọi \(K\) là trung điểm của \(AB\), góc giữa đường thẳng \(SK\) với mặt phẳng đáy bằng \(60^\circ \). Tính thể tích V của khối chóp \(S.ABCD\).

A. \(V = \frac{{4{a^3}\sqrt {42} }}{{49}}\)

B. \(V = \frac{{2{a^3}\sqrt {42} }}{{147}}\)

C. \(V = \frac{{2{a^3}\sqrt {42} }}{{49}}\)

D. \(V = \frac{{4{a^3}\sqrt {42} }}{{147}}\)

Lời giải:

Gọi độ dài cạnh hình vuông \(ABCD\) là \(x\;\left( {x > 0} \right)\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AD\)\( \Rightarrow \)\(HA = HD = \frac{{AD}}{2} = \frac{x}{2}\) và \(SH \bot AD\)(vì \(\Delta SAD\) cân tại S).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)}\\{\left( {SAD} \right) \cap \left( {ABCD} \right)}\\{SH \bot AD}\end{array}} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Do đó: \(\left( {SK,\;\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SK,HK} \right) = \angle SKH = 60^\circ \).

Ta lại có: \(HK = \frac{{BD}}{2} = \frac{{x\sqrt 2 }}{2}\)(Vì \(HK\)là đường trung bình trong \(\Delta ABD\)).

\(SH = \sqrt {S{A^2} – A{H^2}} = \sqrt {{a^2} – {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{a^2} – \frac{{{x^2}}}{4}} \) (Vì \(\Delta SHA\)vuông tại H).

Xét \(\Delta SHK\)vuông tại H có: \(\frac{{SH}}{{HK}} = \tan 60^\circ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{a^2} – \frac{{{x^2}}}{4}} }}{{\frac{{x\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 3 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} – \frac{{{x^2}}}{4}} = \frac{{x\sqrt 6 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow {a^2} – \frac{{{x^2}}}{4} = \frac{3}{2}{x^2} \Leftrightarrow \frac{7}{4}{x^2} = {a^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{4{a^2}}}{7} \Leftrightarrow x = \frac{{2a}}{{\sqrt 7 }}\)

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = \frac{{4{a^2}}}{7};\;SH = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}\). Do đó: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt {42} }}{7}.\frac{{4{a^2}}}{7} = \frac{{4{a^3}\sqrt {42} }}{{147}}\).

=========== Câu 43 THỂ TÍCH HÌNH LĂNG TRỤ BIẾT GÓC KHOẢNG CÁCH VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024