Cho lăng trụ đều $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$. Biết rằng góc giữa $\left(A^{\prime} B C\right)$ và $(A B C)$ là $30^{\circ}$, tam giác $A^{\prime} B C$ có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$

Cho lăng trụ đều $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$. Biết rằng góc giữa $\left(A^{\prime} B C\right)$ và $(A B C)$ là $30^{\circ}$, tam giác $A^{\prime} B C$ có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$.
A. $8 \sqrt{3}$.
B. $16 \sqrt{3}$.
C. $9 \sqrt{3}$.
D. $12 \sqrt{3}$.

LỜI GIẢI

Gọi $M$ là trung điểm $B C$.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\left(A^{\prime} B C\right) \cap(A B C)=B C \\ A M \perp B C \\ A^{\prime} M \perp B C\end{array}\right.$

$\Rightarrow\left(\left(A^{\prime} B \widehat{C}\right),(A B C)\right)=\widehat{A^{\prime} M A}=30^{\circ}$.

Ta có $S_{\triangle A B C}=S_{\triangle A^{\prime} B C} \cdot \cos 30^{\circ}=4 \sqrt{3}$

Do đó $A B=4$ và $A M=2 \sqrt{3}$

 

Suy $\operatorname{ra} A^{\prime} A=A M \cdot \tan 30^{\circ}=2 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=2$.

Vậy $V_{A B C} \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}=A^{\prime} A . S_{A B C}=2.4 \sqrt{3}=8 \sqrt{3}$