(Sở Ninh Bình 2022) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành, có thể tích là \(V\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(SA,N\) là điểm trên cạnh \(SB\) sao cho \(SN = 3NB\). Mặt phẳng \((P)\) thay đổi đi qua các điểm \(M,N\) và cắt các cạnh \(SC,SD\) lần lượt tại hai điểm phân biệt \(P,Q\). Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp \(S.MNPQ\).
A. \(\frac{V}{3}\).
B. \(\frac{{27}}{{80}}V\).
C.\(\frac{{27}}{{40}}V\).
D. \(\frac{V}{6}\).
Lời giải:.
Đặt \(\frac{{SC}}{{SP}} = x,\frac{{SD}}{{SQ}} = y\) với \(x,y \ge 1\). Vì hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành nên
\(\frac{{SA}}{{SM}} + \frac{{SC}}{{SP}} = \frac{{SB}}{{SN}} + \frac{{SD}}{{SQ}}.\)
\(\)
Suy ra
\(2 + \frac{{SC}}{{SP}} = \frac{4}{3} + \frac{{SD}}{{SQ}} \Rightarrow y = \frac{2}{3} + x\)\(\)
Mặt khác ta có
\(\begin{array}{l}\frac{{{V_{S.MNPQ}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{{{V_{S.MNP}}}}{{2{V_{S.ABC}}}} + \frac{{{V_{S.MQP}}}}{{2{V_{S.ADC}}}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{SM}}{{SA}} \cdot \frac{{SN}}{{SB}} \cdot \frac{{SP}}{{SC}} + \frac{{SM}}{{SA}} \cdot \frac{{SQ}}{{SD}} \cdot \frac{{SP}}{{SC}}} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{{4x}}\left( {\frac{3}{4} + \frac{1}{y}} \right) = \frac{1}{{4x}}\left( {\frac{3}{4} + \frac{3}{{3x + 2}}} \right)\\ = \frac{{9(x + 2)}}{{16\left( {3{x^2} + 2x} \right)}}\end{array}\)
Xét hàm số \(f(x) = \frac{{9(x + 2)}}{{16\left( {3{x^2} + 2x} \right)}}\) với \(x \ge 1\). Ta có
\(f\prime (x) = \frac{9}{{16}} \cdot \frac{{ – 3{x^2} – 12x – 4}}{{{{\left( {3{x^2} + 2x} \right)}^2}}} < 0,\quad \forall x \ge 1\)\(\)
nên hàm số luôn nghịch biến trên nửa khoảng \([1; + \infty )\). Suy ra \(f(x) \le f(1) = \frac{{27}}{{80}},\forall x \ge 1\). Vậy thể tích khối chóp \(S.MNPQ\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{27}}{{80}}V\), đạt được khi \(x = 1\), tức là khi \(P \equiv C\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Thể tích đa diện
Trả lời