(Sở Hà Tĩnh 2022) Cho lăng trụ \(ABCD \cdot A\prime B\prime C\prime D\) có đáy là hình chữ nhật với \(AB = \sqrt 6 ,AD = \sqrt 3 ,A\prime C = 3\) và mặt phẳng \(\left( {AA\prime C\prime C} \right)\) vuông góc với mặt đáy. Biêt hai mặt phẳng \(\left( {AA\prime C\prime C} \right)\) và \(\left( {AA\prime B\prime B} \right)\) tạo với nhau góc \(\alpha \) có \(\tan \alpha = \frac{3}{4}\). Thể tích \(V\) của khối lăng trụ \(ABCD \cdot A\prime B\prime C\prime D\prime \) là

Câu hỏi:

A. 12.

B. 6.

C. 8.

D. 10.

Lời giải:.

Dễ thấy

nên tam giác \(A\prime CC\prime \) cân tại \(A\prime \), do đó \(A\prime F \bot CC\prime \), với \(F\) là trung điểm của \(CC\prime \). Gọi \(E\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {C\prime E} = \frac{3}{2}\overrightarrow {C\prime D\prime } \).

Khi đó \(C\prime E = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\) và \(D\prime E = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\), suy ra

\(A\prime {E^2} + A\prime {C^2} = A\prime {D^{\prime 2}} + D\prime {E^2} + A\prime {C^{\prime 2}} = \frac{{27}}{2} = C\prime {E^2}\)

suy ra \(EA\prime \bot A\prime F\) và \(CC\prime \bot \left( {EA\prime F} \right)\), do đó

\(\widehat {EFA\prime } = \left( {A\prime F,EF} \right) = \left( {\left( {AA\prime C\prime A} \right),\left( {CDD\prime C\prime } \right)} \right) = \left( {\left( {AA\prime C\prime C} \right),\left( {AA\prime B\prime B} \right)} \right) = \alpha \)\(\)

Ta có \(EA\prime = \sqrt {D\prime {E^2} + A\prime {D^{\prime 2}}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\), suy ra \(A\prime F = A\prime E\cot \alpha = 2\sqrt 2 \) và \(CC\prime = 2\sqrt {A\prime {C^{\prime 2}} – A\prime {F^2}} = 2\), do đó chiều cao của khối lăng trụ là

\(h = d\left( {C,\left( {A\prime B\prime C\prime D\prime } \right)} \right) = d\left( {C,A\prime C\prime } \right) = \frac{{A\prime F \cdot CC\prime }}{{A\prime C\prime }} = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\)\(\)

Vậy \(V = AB \cdot AD \cdot h = 8\).

==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Thể tích đa diện