(Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên – 2022) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành và \(M\) là trung điểm cạnh bên \(SC\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa \(AM\) và song song với \(BD\), mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt \(SB,SD\) lần lượt tại \(B’\) và \(D’\). Tính tỷ số \(\frac{{{V_{S.AB’MD’}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}\)
A. \(\frac{1}{6}\).
B. \(\frac{1}{3}\).
C. \(\frac{3}{4}\).
D. \(\frac{2}{3}\).
Lời giải:
Chọn B
Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).
Trong \(\left( {SAC} \right)\) gọi \(I\) là giao điểm của \(SO\) và \(AM\).
Trong \(\left( {SBD} \right)\) từ \(I\) vẽ đường thẳng song song với \(BD\) cắt \(SB\), \(SD\) lần lượt tại \(B’\), \(D’\), suy ra mặt phẳng \(\left( P \right)\) là mặt phẳng\(\left( {AB’MD’} \right)\).
+ Ta thấy \(I\) là giao điểm của hai đường trung tuyến \(AM\) và \(SO\) của tam giác \(SAC\) \( \Rightarrow \)\(I\) là trọng tâm tam giác \(SAC\), suy ra: \(\frac{{SI}}{{SO}} = \frac{{SB’}}{{SB}} = \frac{{SD’}}{{SD}} = \frac{2}{3}\) (định lý Ta-lét vì \(B’D'{\rm{//}}\,BD\))
Ta có: \(\frac{{{V_{SAB’M}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{{SA.SB’.SM}}{{SA.SB.SC}} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow \)\({V_{SAB’M}} = \frac{1}{3}{V_{SABC}}\).
\(\frac{{{V_{SAD’M}}}}{{{V_{SADC}}}} = \frac{{SA.SD’.SM}}{{SA.SD.SC}} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow \)\({V_{SAD’M}} = \frac{1}{3}{V_{SADC}}\)
\( \Rightarrow \frac{{{V_{SAB’MD’}}}}{{{V_{SABCD}}}}\)\( = \frac{{{V_{SAB’M}} + {V_{SAD’M}}}}{{{V_{SABCD}}}}\)\( = \frac{{\frac{1}{3}\left( {{V_{SABC}} + {V_{SADC}}} \right)}}{{{V_{SABCD}}}}\)\( = \frac{{\frac{1}{3}{V_{SABCD}}}}{{{V_{SABCD}}}}\)\( = \frac{1}{3}\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Thể tích đa diện
Trả lời