(Sở Thái Nguyên 2022) Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính \(AD = 2a,{\rm{ }}SA \bot \left( {ABCD} \right),{\rm{ }}SA = \frac{{3a}}{2}\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(SC\) bằng

Câu hỏi:

A. \(\frac{{3\sqrt 2 a}}{4}\).

B. \(\frac{{\sqrt 2 a}}{4}\).

C. \(\frac{{5\sqrt 2 a}}{{12}}\).

D. \(\frac{{5\sqrt 2 a}}{4}\).

Lời giải:

Chọn B

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), Kẻ \(Cx//BD \Rightarrow BD//\left( {SCx} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {BD,SC} \right) = d\left( {BD,\left( {SCx} \right)} \right) = d\left( {O,\left( {SCF} \right)} \right)\); với \(O = BD \cap AC\) và \(F = AB \cap Cx\).

Vì \(ABCD\) là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính \(AD = 2a\) nên

\(AB = BC = CD = a\) và \(\frac{{OA}}{{OC}} = \frac{{OD}}{{OB}} = \frac{{AD}}{{BC}} = 2 \Rightarrow d\left( {O,\left( {SCF} \right)} \right) = \frac{1}{3}d\left( {A,\left( {SCF} \right)} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CF \bot SA\left( {Do{\rm{ }}SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\CF \bot AB\left( {Do{\rm{ }}AB \bot BD,BD//CF} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CF \bot \left( {SAB} \right){\rm{ }}\left( 1 \right)\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SAF} \right)\), kẻ \(AH \bot SF{\rm{ }}\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCF} \right) \bot \left( {SAB} \right)\\\left( {SCF} \right) \cap \left( {SAB} \right) = SF\\AH \subset \left( {SAB} \right),AH \bot SF\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SCF} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCF} \right)} \right) = AH\).

Xét tam giác \(AFC\) có \(OB//CF\) nên \(\frac{{AB}}{{AF}} = \frac{{AO}}{{AC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow AF = \frac{3}{2}AB = \frac{{3a}}{2}\).

Xét tam giác \(SAF\) vuông tại A nên \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{F^2}}} = \frac{8}{{9{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{3\sqrt 2 a}}{4} \Rightarrow d\left( {BD,SC} \right) = \frac{1}{3}AH = \frac{{\sqrt 2 a}}{4}\).

==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Thể tích đa diện