(Sở Phú Thọ 2022) Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A’B’C’D’\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), góc giữa \(AC\)và mặt phẳng \(\left( {A’CD} \right)\) bằng \(30^\circ \). Gọi \(M\) là điểm sao cho \(\overrightarrow {A’M} = \frac{1}{3}\overrightarrow {A’B} \). Thể tích khối tứ diện \(A’CDM\) bằng

Câu hỏi:

A. \(\frac{{{a^3}}}{{18}}\).

B. \(\frac{{{a^3}}}{3}\).

C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).

D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

Lời giải:

Chọn A

Kẻ \(AE \bot A’D\)

Ta có \(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{CD \bot AD}\\{CD \bot DD’}\\{AD,DD’ \subset \left( {ADD’A’} \right)}\\{AD \cap DD’ = D}\end{array}} \right\} \Rightarrow CD \bot \left( {ADD’A’} \right),\) mà \(AE \subset \left( {ADD’A’} \right) \Rightarrow AE \bot CD\).

Suy ra \(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{AE \bot CD}\\{AE \bot A’D}\\{CD,A’D \subset \left( {A’CD} \right)}\\{CD \cap A’D = D}\end{array}} \right\} \Rightarrow AE \bot \left( {A’CD} \right)\).

Hình chiếu vuông góc của \(AC\)lên mặt phẳng \(\left( {A’CD} \right)\) là\(EC\).

\(\widehat {\left( {AC,\left( {A’CD} \right)} \right)} = \widehat {(AC,EC)} = \widehat {ACE} = 30^\circ \).

Xét tam giác \(ACE\)vuông ở \(E \Rightarrow AE = AC.\sin 30^\circ = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Ta có chiều cao của hình chóp \(A’CDM\)hạ từ đỉnh \(M\) là\(h = d\left( {M,\left( {A’CD} \right)} \right) = \frac{1}{3}d\left( {B,\left( {A’CD} \right)} \right) = \frac{1}{3}d\left( {A,\left( {A’CD} \right)} \right) = \frac{{AE}}{3} = \frac{{a\sqrt 2 }}{6}\).

Xét tam giác \(AA’D\) vuông ở \(A\) có

\(AE \bot A’D \Rightarrow \frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{A{{A’}^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{A{{A’}^2}}} = \frac{1}{{A{E^2}}} – \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} – \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow AA’ = a\).

Ta có diện tích tam giác \(A’CD\) bằng \({S_{A’CD}} = \frac{1}{2}.A’D.DC = \frac{1}{2}a\sqrt 2 .a = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\).

Thể tích khối tứ diện \(A’CDM\) bằng \({V_{A’CDM}} = \frac{1}{3} \cdot h \cdot {{\rm{S}}_{A’CD}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{6} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}}}{{18}}\).

==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Thể tích đa diện