(Sở Bạc Liêu 2022) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, \(AB = 1\), cạnh bên \(SA = 1\) và vuông góc với mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\). Kí hiệu \(M\) là điểm di động trên đoạn \(CD\) và \(N\) là điểm di động trên đoạn \(CB\) và góc \(\widehat {MAN} = 45^\circ \). Thể tích nhỏ nhất của khối chóp \(S.AMN\) là
A. \(\frac{{\sqrt 2 – 1}}{3}\).
B. \(\frac{{\sqrt 2 + 1}}{9}\).
C. \(\frac{{\sqrt 2 + 1}}{6}\).
D. \(\frac{{\sqrt 2 – 1}}{9}\).
Lời giải:
Chọn A
Ta có \({V_{S.AMN}} = \frac{1}{3}SA.{S_{\Delta AMN}}\)\( \Rightarrow {V_{S.AMN}}\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow {S_{\Delta AMN}}\) nhỏ nhất.
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}BM = x\\DN = y\end{array} \right.\) có \(\left\{ \begin{array}{l}A{M^2} = 1 + {x^2}\\A{N^2} = 1 + {y^2}\end{array} \right.\) và \(M{N^2} = M{C^2} + N{C^2} = {\left( {1 – x} \right)^2} + {\left( {1 – y} \right)^2}\).
Áp dụng định lí cosin
\(M{N^2} = A{N^2} + A{M^2} – 2AM.AN.\cos 45^\circ = 1 + {y^2} + 1 + {x^2} – 2\sqrt {\left( {1 + {y^2}} \right).\left( {1 + {x^2}} \right)} .\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Nên \({\left( {1 – x} \right)^2} + {\left( {1 – y} \right)^2} = 1 + {x^2} + 1 + {y^2} – \sqrt {2\left( {1 + {x^2}} \right).\left( {1 + {y^2}} \right)} \)\( \Leftrightarrow 2\left( {x + y} \right) = \sqrt {2{{\left( {1 + x} \right)}^2}.{{\left( {1 + y} \right)}^2}} \)
\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \left( {x + y} \right) = \sqrt {\left( {1 + {x^2}} \right).\left( {1 + {y^2}} \right)} \)\( \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) = 1 + {x^2} + {y^2} + {x^2}{y^2}\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 2xy + {y^2} = 1 – 2xy + {x^2}{y^2}\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = {\left( {1 – xy} \right)^2} \Leftrightarrow x + y = 1 – xy\) vì \(xy \le 1\).
Theo bất đẳng thức Cosi \(2\sqrt {xy} \le x + y \Leftrightarrow xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}\)\( \Leftrightarrow 1 – \left( {x + y} \right) \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} + 4\left( {x + y} \right) – 4 \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y \ge – 2 + 2\sqrt 2 }\\{x + y \le – 2 – 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\).
Vậy \(\min \left( {x + y} \right) = – 2 + 2\sqrt 2 \).
Ta có \({S_{\Delta AMN}} = \frac{1}{2}AM.AN.\sin 45^\circ = \frac{1}{2}\sqrt {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)} .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}.\sqrt 2 \left( {x + y} \right)\)
\( \Leftrightarrow {S_{\Delta AMN}} \le \frac{1}{2}\left( {2\sqrt 2 – 2} \right) \Leftrightarrow {S_{\Delta AMN}} \le \sqrt 2 – 1\).
\(\min {S_{\Delta AMN}} = \sqrt 2 – 1 \Rightarrow \min {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot SA.{S_{\Delta AMN}} = \frac{1}{3}.1.\left( {\sqrt 2 – 1} \right) = \frac{{\sqrt 2 – 1}}{3}\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Thể tích đa diện
Trả lời