Cho lăng trụ\(ABC. A’B’C’\)có đáy\(ABC\)là tam giác vuông tại\(A\),\(AB = 1,AC = 2\). Hình chiếu của\(A’\)lên mặt phẳng\((ABC)\)trùng với trung điểm cạnh\(BC\). Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng\(CC’\)và\(A’B\)là\(\sqrt 2 \). Thể tích khối lăng trụ\(ABC. A’B’C’\) bằng

Câu hỏi:

Cho lăng trụ\(ABC. A’B’C’\)có đáy\(ABC\)là tam giác vuông tại\(A\),\(AB = 1,AC = 2\). Hình chiếu của\(A’\)lên mặt phẳng\((ABC)\)trùng với trung điểm cạnh\(BC\). Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng\(CC’\)và\(A’B\)là\(\sqrt 2 \). Thể tích khối lăng trụ\(AB

C. A’B’C’\) bằng

A. \(\frac{1}{2}\).

B. \(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\).

C. \(\sqrt 2 \).

D. 1.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Do\(CC’\,{\rm{//}}\,{\rm{ }}BB’\)nên\(CC’\,{\rm{//}}\,{\rm{ }}\left( {AA’B’B} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {CC’,A’B} \right) = d\left( {CC’,\left( {AA’B’B} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AA’B’B} \right)} \right) = \sqrt 2 \).

Gọi\(H,I\)lần lượt là trung điểm của cạnh\(BC\)và\(AB\), dễ thấy\(IH\,{\rm{//}}\,AC\)và\(IH = \frac{1}{2}AC = 1\).

+) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot IH}\\{AB \bot A’H}\end{array}} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {A’HI} \right)\).

Kẻ\(HK\)\( \bot A’I\)\(\left( {K \in A’I} \right)\).

+) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{HK \bot A’I}\\{HK \bot AB}\end{array}} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {AA’B’B} \right)\). Ta có\(KH = d\left( {H,\left( {AA’B’B} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {C,\left( {AA’B’B} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Tam giác vuông\(A’IH\)có\(HI = 1\), đường cao\(HK = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)nên tam giác\(A’IH\) vuông cân tại\(H\).

Suy ra\(A’H = 1\). Khối lăng trụ\(AB

C. A’B’C’\)có thể tích\(V = \frac{{AB \cdot AC}}{2} \cdot A’H = 1\).

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Khối đa diện