Cho tứ diện\(ABCD\)có\(AB = AC = BD = CD = 1\). Khi thể tích của khối tứ diện lớn nhất thì khoảng cách giữa hai đường thẳng\(AD\)và\(BC\)bằng

Câu hỏi:

Cho tứ diện\(ABCD\)có\(AB = AC = BD = CD = 1\). Khi thể tích của khối tứ diện lớn nhất thì khoảng cách giữa hai đường thẳng\(AD\)và\(BC\)bằng

A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

B. \(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\).

D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Gọi\(H\),\(K\)lần lượt là trung điểm của\(BC\)và\(AD\).

Vì\(AB = AC = BD = CD = 1\)nên\(AH \bot BC\)và\(DH \bot BC\), suy ra\(BC \bot (AHD)\) \( \Rightarrow \)\(BC \bot HK\). Mặt khác\(\Delta ABC = \Delta DBC\)nên\(AH = DH\), suy ra\(HK \bot AD\).

\( \Rightarrow HK\)là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng\(AD\) và\(BC\)\( \Rightarrow d(AD;BC) = HK\).

Đặt\(BC = 2x\),\(AD = 2y\), với\(0 < x < 1\)và\(0 < y < 1\).

Ta có\(AH = \sqrt {A{B^2} – B{H^2}}= \sqrt {1 – {x^2}} \),\(HK = \sqrt {A{H^2} – A{K^2}}= \sqrt {1 – {x^2} – {y^2}} \), với\({x^2} + {y^2} < 1\).

Thể tích của khối tứ diện\(ABCD\)là:

\(V = {V_{

B. AHD}} + {V_{

C. AHD}} = \frac{1}{3}{S_{AHD}} \cdot (BH + CH) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot A

D. HK.BC = \frac{1}{6} \cdot 2y \cdot 2x \cdot \sqrt {1 – {x^2} – {y^2}} \)

\( = \frac{2}{3}\sqrt {{x^2}{y^2}\left( {1 – {x^2} – {y^2}} \right)} \).

Mặt khác:\({x^2}{y^2}\left( {1 – {x^2} – {y^2}} \right) \le {\left( {\frac{{{x^2} + {y^2} + \left( {1 – {x^2} – {y^2}} \right)}}{3}} \right)^3} = \frac{1}{{27}}\).

Nên\(V = \frac{2}{3}\sqrt {{x^2}{y^2}\left( {1 – {x^2} – {y^2}} \right)}\le \frac{2}{3}\sqrt {\frac{1}{{27}}}= \frac{{2\sqrt 3 }}{{27}}\).

\( \Rightarrow {\rm{max}}{{\rm{V}}_{ABCD}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{27}}\) khi và chỉ khi \({x^2} = {y^2} = 1 – {x^2} – {y^2} \Rightarrow x = y = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Khi đó\(HK = \sqrt {1 – {x^2} – {y^2}}= \frac{{\sqrt 3 }}{3}\). Vậy\(d(AD;BC) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Khối đa diện