Cho hình chóp\(S.ABCD\)có đáy là hình bình hành. Gọi\(M,N,P,Q\)lần lượt là trọng tâm của các tam giác\(SAB,SBC,SCD,SDA\). Gọi\(O\)là điểm bất kỳ trên mặt phẳng đáy\(ABCD\). Biết thể tích khối chóp\(O.MNPQ\)bằng\(V\). Tính thể tích khối chóp\(S.ABCD\).

Câu hỏi:

Cho hình chóp\(S.ABCD\)có đáy là hình bình hành. Gọi\(M,N,P,Q\)lần lượt là trọng tâm của các tam giác\(SAB,SBC,SCD,SDA\). Gọi\(O\)là điểm bất kỳ trên mặt phẳng đáy\(ABCD\). Biết thể tích khối chóp\(O.MNPQ\)bằng\(V\). Tính thể tích khối chóp\(S.ABCD\).

A. \(\frac{{27}}{8}V\).

B. \(\frac{{27}}{2}V\).

C. \(\frac{9}{4}V\).

D. \(\frac{{27}}{4}V\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có\(\left( {MNPQ} \right)\,{\rm{//}}\,\left( {ABCD} \right)\);\(\frac{{SM}}{{ME}} = 2\)\( \Rightarrow d\left( {S,\left( {MNPQ} \right)} \right) = 2.d\left( {\left( {MNPQ} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = 2.d\left( {O,\left( {MNPQ} \right)} \right)\)\( \Rightarrow {V_{S.MNPQ}} = 2{V_{O.MNPQ}} = 2V\).

+\(\frac{{{V_{S.MNQ}}}}{{{V_{S.EFK}}}} = \frac{{SM}}{{SE}} \cdot \frac{{SN}}{{SF}} \cdot \frac{{SQ}}{{SK}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{{27}}\)\( \Rightarrow {V_{S.MNQ}} = \frac{8}{{27}}{V_{S.EFK}}\).

+\(\frac{{{V_{S.NPQ}}}}{{{V_{S.FGK}}}} = \frac{{SN}}{{SF}}.\frac{{SP}}{{SG}}.\frac{{SQ}}{{SK}} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{8}{{27}}\) \( \Rightarrow {V_{S.NPQ}} = \frac{8}{{27}}{V_{S.FGK}}\).

\( \Rightarrow {V_{S.MNQ}} + {V_{S.NPQ}} = \frac{8}{{27}}{V_{S.EFK}} + \frac{8}{{27}}{V_{S.FGK}} \Leftrightarrow {V_{S.MNPQ}} = \frac{8}{{27}}{V_{S.EFGK}}\)

\( \Rightarrow {V_{S.EFGK}} = \frac{{27}}{8}{V_{S.MNPQ}} = \frac{{27}}{4}V\)\((1)\).

Ta có:\(\frac{{{S_{\Delta EBF}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}BE.BF \cdot \sin \widehat {EBF}}}{{\frac{1}{2}BA \cdot BC \cdot \sin \widehat {ABC}}} = \frac{1}{4}\)\( \Rightarrow {S_{\Delta EBF}} = \frac{1}{4}{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{8}{S_{ABCD}}\).

Khi đó,\({S_{EFGK}} = {S_{ABCD}} – \left( {{S_{\Delta EBF}} + {S_{\Delta FCG}} + {S_{\Delta GDK}} + {S_{\Delta KAE}}} \right) = {S_{ABCD}} – 4{S_{\Delta EBF}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}}\)

Suy ra\(\frac{{{V_{S.EFGK}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{{\frac{1}{3}.d\left( {S\,,\,\left( {EFGK} \right)} \right).{S_{EFGK}}}}{{\frac{1}{3}.d\left( {S\,,\,\left( {ABCD} \right)} \right).{S_{ABCD}}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = 2.{V_{S.EFGK}}\)\((2)\).

Từ\((1)\)và\((2)\) suy ra\({V_{S.ABCD}} = \frac{{27}}{2}V\).

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Khối đa diện