Cho hình chóp tứ giác đều\(S.ABCD\)có góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng\({60^\circ }\). Gọi\(O\)là tâm của hình vuông\(ABCD\). Biết diện tích tam giác\(OAB\)bằng\(2{a^2}\), tính thể tích khối chóp đã cho.

Cho hình chóp tứ giác đều\(S.ABCD\)có góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng\({60^\circ }\). Gọi\(O\)là tâm của hình vuông\(ABCD\). Biết diện tích tam giác\(OAB\)bằng\(2{a^2}\), tính thể tích khối chóp đã cho.

A. \(16{a^3}\sqrt 3 \).

B. \(\frac{{16{a^3}}}{3}\). C\(\frac{{16{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

D. \(16{a^3}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có\({S_{ABCD}} = 4{S_{O.4B}} = 8{a^2}\),\({S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA. OB\)\( \Rightarrow OA = OB = \sqrt {2{S_{OAB}}}= 2a\).

Do hình chóp \(S.ABCD\) là hình chóp đềunên ta có \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow OA\)là hình chiếu của\(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}\)trên mặt phẳng\(\left( {ABCD} \right)\). Do đó góc giữa cạnh bên\(SA\)và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)là góc\(\widehat {SAO} \Rightarrow \widehat {SAO} = 60^\circ \).

Xét tam giác vuông\(SAO\)có\(SO = OA \cdot \tan \widehat {SAO}\)\( = 2a.\tan {60^\circ } = 2a\sqrt 3 \).

\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 2a\sqrt 3\cdot 8{a^2} = \frac{{16{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).