484. Cho khối hộp đứng \(ABCD.A’B’C’D’\) có mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\) là hình vuông, cạnh \(a\). Góc hợp bởi \(BD’\) và mặt bên \((AA’B’B)\) bằng \(30^\circ \). Tính thể tích khối hộp.

Câu hỏi: 484. Cho khối hộp đứng \(ABCD.A’B’C’D’\) có mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\) là hình vuông, cạnh \(a\). Góc hợp bởi \(BD’\) và mặt bên \((AA’B’B)\) bằng \(30^\circ \). Tính thể tích khối hộp. A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

B. \({a^3}\sqrt 3 \).

C. \({a^3}\sqrt 2 \).

D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).

Lời giải

Ta có \(D’A’ \bot (AA’B’B)\)

\(A’B\) là hình chiếu của \(BD’\) lên mặt phẳng \((AA’B’B)\)

Góc hợp bởi \(BD’\) và \((AA’B’B)\) là góc \(\widehat {A’BD’} = {30^^\circ }\)

\(\tan {30^^\circ } = \frac{{A’D’}}{{A’B}} \Rightarrow A’B = \frac{{A’D’}}{{\tan {{30}^^\circ }}} = a\sqrt 3 \)

\(AA’ = a\sqrt 2 \)

\({V_{ABCD.A’B’C’D’}} = AA’ \cdot {S_{ABCD}} = a\sqrt 2 \cdot {a^2} = {a^3}\sqrt 2 \).

=======